函数的应用—数学建模在中学数学研究性学习中的尝试.doc

1函数的应用函数的应用——数学建模在中学数学研究性学习中的尝试数学建模在中学数学研究性学习中的尝试（ （课课堂教学堂教学设计设计表）表）学校：学校：城桥中学学科：学科：数学课题：课题：函数的应用 —数学建模在中学数学研究性学习中的尝试班级：班级：高一（1）教师：教师：陈瑜斌时间：时间：20052005 年年 10 月 19 日 8：10—8：50教学目标教学目标: : 知识和技能目标：1、数学建模的一般步骤 2、研究实际问题的一般方法过程和方法目标：1、尝试收集、处理数据 2、建模的优化情感目标： 1、在应用数学知识解决实际问题的过程中体验成功2、在合作探究中培养团队精神，激发创新意识设计依据：设计依据： （一）教材分析（一）教材分析 本节课是在学习和研究了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、 幂函数和指数函数的基础上展开的有关“函数应用”的一次教学活动根据函数在实际生活和 生产中的广泛应用，让学生尝试从收集原始数据入手，通过建立数学模型，设计出最优方案二）学生分析（二）学生分析 本案例授课班级是高一理科班学生的数学基础尚可，大部分学生 的求知欲旺盛，具有一定的探索精神。

课前布置学生调查崇明工业园区中去年九月 份新建的一个服装厂经营情况（主要是产量） 本案例教学的主要目标是指导学生 走向社会，尝试收集数据，建立数学模型，研究解决实际问题 教学过程教学过程教学教学 环节环节教师活动教师活动学生活动学生活动设计意图设计意图( (一一) ) 收集 数据 汇报（（二二））例 题 探 究 与 学 习T：：请班长把调查城桥镇新建 服装厂的近期生产状况汇报一 下T：：很好！同学们能深入社会， 了解社会，收获一定很大现 在琪琪厂厂长碰到了一个难题： 为了正确制订后期生产计划， 需要估测以后几个月的产量 假如你是厂长，你能结合我们 学过的知识，帮助他解决这个 问题吗？ （点评：教师把学生置于“厂 长”的位置，调动他们的情趣 和积极性，独具匠心 ） T：：嗯，很好！是否还有不同 意见？ T：：回答得太好了！由“月份” 和“产量”的“数对” ，想到要 建立直角坐标系；现在我们描 出各点位置并用直线段连接各 点（教师边说边用电脑演示） 同学们观察联想与连线接近的S1（班长）：我们调查了城桥 镇琪琪服装厂该厂从去年九 月份开始投产，并且前 4 个月 的产量分别为 3.5 万件，3.7 万件，3.8 万件，3.88 万件。

由于产品质量好，服装款式新 颖，因此前几个月的产品销售 情况良好 学生们交头接耳，开始了热烈 的分组讨论稍后，学生纷纷 举手 S2：：从函数关系角度去研究， 把月份看作横坐标，产量看作 纵坐标，建立坐标系 S3：：（自言自语）哦！对！这 样我可以把原来的几对数据看 作几个点了 S4：：（抢着回答）不就是 （9，3.5） 、 （10，3.7） 、 （11，3.8） 、 （12，3.88）这几 个点吗？ S5：：第 5 个月怎么办？横坐标在中学数学教学 中开展数学建模的教 学是一个新的尝试和 探索它是指从实际 问题入手建立数学模 型，求出数学模型的 解并验证模型解的全 过程把数学建模引 入课堂教学，从教学 目的、教学内容、教 学模式、教学手段上 都将会给中学数学教 学改革带来新的突破， 在这方面没有什么现 成经验可以借鉴，需 要进行多种形式的教 学实验 函数的应用意识 和应用能力，要通过 对学生长期的渗透和 学生自身的体验才能 形成本课例在提出 问题以后，让学生转 换角色， “假如你是2（（三三））学生 自主函数图象（如图） “由数到形” ， 再“由形到数” ，请大家讨论研 究用几个点的坐标找出与之相 近的模拟函数，利用函数模型 来解决今天的实际问题。

（课堂讨论热烈，研究气氛逐 渐形成教师边巡视边参与点 拨 ） T：：现在各组汇报一下你们选 择的模拟函数 T：：很好！太好了！现在我们 设月产量为 Y（万件） ，月份数 为 X，建立直角坐标系，可得 A（1，3.5） ，B（2，3.7） ， C（3，3.8） ，D（4，3.88）四 点下面同学们分成四个组， 分别确定各个模拟函数的解析 式（允许用计算器） ，然后每组 选出一位同学来板演计算过程， 并计算出剩余点的误差 （经过 各小组学生的研究讨论，确定 了求各函数解析式的方法，并 推选四位学生上台板演计算过 程） T：：同学们计算非常正确说 法也非常正确你们求函数解 析式的方法叫做待定系数法 第①个函数要待定两个系数 k 和 b，所以只须两个点就可以 了一般我们选 A、B 两点， 当然也可选 A、C 或 B、C，但 一般不选 D 点第②个函数要 待定三个系数必须选三个点， 一般选 A、B、C，即从第一、 二、三个月产量去确定模拟函 数，再计算第④个月的模拟产 量与实际产量的误差选取的 点不同，得到的模拟函数一般 也不同我们的同学很有思想， 敢于提出不同意见，非常好 T：：同学们，如果你是厂长， 现在你考虑选择哪个模拟函数 呢？ T：：同学的评价都很有道理。

我相信今后你去当一个厂长， 一个管理者，一定是一个称职为 13 吗？…… （S5提出了疑问，课堂上一陈 轻声议论） S6：：我认为应看作（1，3.5） 、 （2，3.7） 、 （3，3.8） 、 （4，3.88）这四点 （学生们纷纷点头，露出赞同 的表情） S7：：我们选用一次函数，因为 一次函数最简单，它是直线型 的我们的模拟函数是： y=kx+b（k≠0） 四位学生板演结束不少学生 一边举手一边嚷嚷：“老师， 我第①个函数选取的两个点不 同，结果也不同” “老师，第 ②类函数我选的三个点不同， 结果也不一样”…… S8：：我们选用二次函数，因为 折线显然不是直线，二次函数 是我们熟悉的常见的曲线函数 我们的模拟函数是： y=ax2+bx+c（a≠0） S9：：我们选用最近学习的幂函 数型，我们觉得这个函数比较 符合生产实际我们的模拟函 数是：y=ax0.5+b（a≠0） S10：：我们选用指数型函数， 模拟函数是： y=abx+c（a、b≠0） S11：：我认为选第①个直线型 函数因为它的误差值最小 S12：：（迫不及待举手发言） 我选第③个幂函数型因为琪 琪厂刚新建，开始随着工人技 术、管理效益逐渐提高，一段 时间内产量明显上升，但到一 定时期后，设备不更新，那么 产量必然要趋于稳定。

而第③ 个模拟函数恰好反映了这种趋 势，因此选用比较符合客观实 际 S13：：我认为分四步： （1）调查收集得出原始数据 对； （2）建立直角坐标系，描出厂长” ， “假如你是区 长” ，把他们置于自 主解决问题的地位， 带有更大的责任感， 能有效激发学生解决 问题的兴趣，调动情 感因素教学中，对 于学生建模、演算的 结果，及时肯定和表 扬，并采用小组合作 的形式，组织学生讨 论，为每一位学生提 供展示学习成果的机 会，激发探索精神 把培养非智力因素和 智力因素有机地结合 起来，使数学建模的 教学注入动力机制， 有利于应用意识的培 养 数学建模中的实 际问题背景更加复杂， 解答具有更大的综合 性和多样性，而结论 还需要进行检验和优 化，带有更大的挑战 性和创造性数学建 模的教学使学生走出 课本，走出传统的习 题演练，使他们进入 生活、生产的实际中， 进入一个更加开阔的 天地；使学生体会到 数学的由来、数学的 应用，体验到一个充 满生命活力的教学， 这对于培养学生应用 意识和创造精神显然 是一个很好的途径3小结的好厂长，好管理人员现在 老师把你们选择的模拟函数曲 线用电脑演示一下 （屏幕显示 的曲线效果大大吸引了学生） （老师笑着点点头） T：：现在我们一起归纳一下， 解决一个实际问题的一般步骤。

T：：还有补充意见吗？ T：：说得太好了很有归纳总 结的才华 今天我们全体同学用学过 的知识为琪琪服装厂厂长提供 了一个很好的决策建议从中 我们也学到了一种数学建模、 解决实际问题的一般方法今 后我们还会学到更多新的函数， 为解决实际问题提供更广阔的 天地这些点并用直线段连接； （3）观察折线图象，确定选 用哪种函数模型； （4）对模型进行分析评 价 全班同学异口同声：全班同学异口同声：哇！ 选第③个函数学生们摇头说：“没有补充 意见” ） （学生们大笑）附表：教师将各组讨论结果一一填入小黑板的表中：月份12345误差 |y4-3.88|产量（万件）3.53.73.83.88①Y=kx+b②Y=ax2+bx+c③Y=ax0.5+b④Y=abx+c…作业如下： 投影打出学生们从网上下载的浦东新区 1998—2003 年区国民生产 GDP 总值情况： 年度199819992000200120022003 GDP（亿元）708800920108212511504 （1）请建立一个数学模型，用以预测浦东新区以后几年的 GDP 情况； （2）计算浦东新区 GDP 的平均年增长率； （3）由（1） 、 （2）分别预测浦东新区 2004 年—2010 年 GDP 情况，并讨论哪种预测结果更 有可行性。

假如你是区长，将会采用哪种模型？ 得出浦东新区 GDP 年增长率远远高于全国的年增长率 8%能不能从增长率的角度再建立一 个 GDP 变化的数学模型呢？4[自我反思自我反思] 1、成功之处：由于这一节课的教学重点是培养学生用数学的眼光观察事物，能提出实际问 题并建立与之相应的数学模型，以提高用函数知识解决实际问题的能力而实际问题的产生一 定要到生产实际和生活中去观察、搜集和提炼，忌讳从书本上摘抄或虚拟，所以这节内容的教 学须打破传统的教学方法和模式，要走出校门，要让学生在实践中深层次地参与教学活动，让 学生以研究者的身份在研究中学习，真正体现学生的主体地位故在教学中我留给学生充分的 时间和空间，把课内教学和课外学习活动有机结合 开始阶段，我结合教材内容及高一学生的知识现状，精心选择了贴近学生认知水平，能综 合应用基础知识又贴近生活实际的课题，即调研琪琪服装厂的产量问题之后，我把同学分成 两小组，分别搜集相关数据，把他们置于研究者的身份，在我的组织指导下，让学生有计划、 有限度地参与建模过程，让学生初步体验理论分析法、模拟方法等数学建模方法 第二阶段为课堂教学由两个小组各派一名代表向全班同学展示其研究成果，教师对其建 模过程进行分析评价，让学生感受到数学知识的产生来自于实际生活，最终要为生产实际和生 活服务的理念。

课外作业是对浦东新区 GDP 的预测，我设想让学生去上网查找、验证数据的可靠性，同时 引导一批数学基础较好的学生完成一篇实习报告，鼓励学生要勇于实践，敢于提出实际问题， 发扬互相合作、互相学习的团队精神，充分体验在实践中学习的乐趣能切实有助于学生巩固 基础知识、激发创新意识、培养学生的实践能力，从而有助于全面落实这节课的教学目标 2、不足之处：由于学生知识水平和课时的限制，不可能进行完全科学的建模过程比如建 立函数关系式由于已知点的选择不同对数学模型的影响；怎样科学地比较各个模型的优劣；怎 样调整数学模型等这有待以后进一步深入展开在数学建模教学中，把课内教学与课外活动 结合起来是一条值得探索的途径，它将形成一个新的教学模式，这也是我们正在研究的问题 同时由于时间的关系，我感到学生自我评价还未充分，有意犹未尽之嫌 3、努力的方向：对学生来讲，他们学到了以前在学校里从来没有学到的东西，感受到了以 前从没得到的体验虽然研究结果还需进行检验和优化，但数学建模过程却使同学们走出了课 本传统的习题演练，使他们走进生活、生产实际中，进入一个更加开放的天地，使学生体会到 数学的由来、数学的应用，体验到一个充满生命活力的学习过程。

我想，这对于培养学生的应 用意识和创新精神是一个很好的途径 以后的教育实践中要经常组织这种形式的教育，进一步放手让学生走出课堂，尝试写出调 研报告，促进。