高等数学19连续函数的运算与初等函数的连续性.ppt

复习复习1. 无穷小的比较无穷小的比较  是是   的高阶无穷小的高阶无穷小  是是   的低阶无穷小的低阶无穷小  是是   的同阶无穷小的同阶无穷小  是是   的等价无穷小的等价无穷小  是是   的的 k 阶无穷小阶无穷小设设   ,   对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小, 且且常用等价无穷小常用等价无穷小 : 当当 时时,求极限的又一种方法求极限的又一种方法, , 注意适用条件注意适用条件. .2. 等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理连续函数的等价定义连续函数的等价定义定义定义则称函数则称函数 f (x)在点在点x0 连续连续.定义定义当当 时，有时，有则称函数则称函数 f (x)在点在点x0 连续连续.定义定义则称函数则称函数 f (x)在点在点x0 连续连续.3. 间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2. 区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点:间断点间断点可去间断点可去间断点 跳跃间断点跳跃间断点 无穷间断点无穷间断点,振荡间断点振荡间断点.1. 函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;(见下图见下图)至少一个不存在至少一个不存在§9. §9. 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性学习重点和难点：学习重点和难点： 利用初等函数的连续性求极限利用初等函数的连续性求极限 几个等价无穷小及其应用几个等价无穷小及其应用一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性证证在点在点 处也连续处也连续定理定理1若函数若函数 在点在点 处连续，则处连续，则 故故 在点在点 处也连续，其它同理可证。

处也连续，其它同理可证即即 三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续. .例如例如, ,上连续，上连续，在其定义域内连续在其定义域内连续. .定理定理2 单调连续的函数有单调连续的反函数单调连续的函数有单调连续的反函数. .例如例如, ,所以，所以，反三角函数在其定义域内连续反三角函数在其定义域内连续. .二、反函数和复合函数的连续性二、反函数和复合函数的连续性上单调增加且连续，上单调增加且连续，上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续.上单调减少且连续；上单调减少且连续；单调且连续单调且连续.定理定理3 3意义意义极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换.例如例如,回顾：复合函数的极限运算法则回顾：复合函数的极限运算法则设设又又 时，时，若若则则意义：求极限的意义：求极限的“变量代换变量代换”法法.定理定理4 4注意　注意　定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,定理定理3 3三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性2. 反三角函数反三角函数 在其定义域内是连续的在其定义域内是连续的.定理定理5 基本初等函数在其定义域内连续基本初等函数在其定义域内连续.1. 三角函数三角函数 在其定义域内是连续的在其定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间. .1.1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, , 在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续; ;例如例如,在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注注:　　注注:　　2.2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法. .例例1 1例例2 2解解解解例例3 3 证明证明 证证特别地特别地例例4 4 证明证明证证特别地特别地例例5 5 证明证明证证特别地特别地综上综上, ,得以下常用等价无穷小得以下常用等价无穷小: :已知当已知当 时，时， 与与 是是等价无穷小，则常数等价无穷小，则常数 设设 时，时， 与与 是同阶无穷小，是同阶无穷小，则则设设 时，时， 是比是比 高阶高阶的无穷小，则的无穷小，则例如：例如：内容小结内容小结基本初等函数基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续连续函数的连续函数的四则运算四则运算结果仍连续结果仍连续连续函数的连续函数的反函数反函数连续连续连续函数的连续函数的复合函数复合函数连续连续 初等函数在定初等函数在定义区间内连续义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.思考题思考题是它的可去间断点是它的可去间断点思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案作业作业P69: 1、、3、、4、、6 。