计数原理与推理与证明专题易错题.doc

排列组合易错题分析一、没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、 分步用乘”是解决排列组合问题的前提例1：从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算 机各两台，则不同的取法有 种错解】因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只 有2种取法错因分析】误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装 与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法正解】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有C；种方法，据乘法原理共有种方法同理，完成第二类办法中有种方法据加法原理完成全部的选取过程共有C；=350种方法例2： 一次运动会有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，不同的夺冠情况共有 种错解】把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，有Al =24种错因分析】误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式正解】四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由 乘法原理共有3x3x3x3 = 34种。

说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得43这是由于没 有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能二、 判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的 是排列，无顺序的是组合例3：有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排 列方法？【错解】因为是8个小球的全排列，所以共有总种方法错因分析】误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的, 同色球之间互换位置是同一种排法正解】8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置 给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题这样共有：C；=56排法三、 重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题，平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计 数例4： 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 种错解】先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有4xA；=480种不同的分法错因分析】设5本书为。

b、c、d、e,四个人为甲、乙、丙、丁按照上述分法可 能如下的表1和表2：甲乙丙T 甲乙丙TabCd ebCde表1a表2表1是甲首先分得乙分得8、丙分得C、丁分得d,最后一本书给甲的情况； 表2是甲首先分得乙分得b、丙分得C・、丁分得d ,最后一本书给甲的情况 这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况正好重复了一次正解】首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人第一步：从5本书中任意取出2 本捆绑成一本书，有种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有粮种方法由乘 法原理，共有C；・A；=24例5：某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天, 其不同的排法共有 种错解】第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人 再进行全排列共有：=1260错因分析】这里是均匀分组问题比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是 周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以 在全排列的过程中就重笈计算了1正解】=630种2四、遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。

例6：用数字0, 1, 2, 3, 4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有 个01,3【错解】如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位 不能是0,在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中间两个 位置有种排法，共有2x3xA“36个错因分析】误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数正解】任一个五位的奇数都符合要求，共有2x3xA；=36个，再由前面分析四位数个数 和五位数个数之和共有72个五、忽视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可 能多解或者漏解例7：如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜 色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种以数字作答）【错解】先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个 匕二J 区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有C；.2・A；=12种，（3 1由乘法原理共有：4x12 = 48种错因分析】据报导，在高考中有很多考生填了 48种这主要是没有看清题设“有4种颜 色可供选择”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务正解】当使用四种颜色时，巾前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有C；种方法，先着色第一区域，有3种方法, 剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有C：x3x2 = 24种。

综上共有：48 + 24 = 72种例8：己知ax2-b = 0是关于x的一元二次方程，其中be （1,2,3,4｝,求解集不同的一 元二次方程的个数错解】从集合｛123,4｝中任意取两个元素作为b,方程有个，当人取同一个数 时方程有1个，共有居+1 = 13个错因分析】误解中没有注意到题设中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于：=1和? = 2同解、匕=2和：=4同解，故要减去2个 b = 2 Z? = 4 b = 1 b = 2【正解】由分析，共有13-2 = 11个解集不同的一元二次方程六、未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错例9：现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是 种错解】因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况,共有 2,()-1 = 1023 种错因分析】这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有 不取、取一张和取二张3种情况正解】除1()元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有29 x3-1=1535种。

七、题意的理解偏差出错例10：现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有 种错解】除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A?种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有种方法，这样共有种排法错因分析】误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、 乙、丙三人互不相邻”的情况甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时 相邻，但允许其中有两人相邻正解】在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙 三人不相邻的方法数,即可-八、解题策略的选择不当出错有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，如间接法、 插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解决例11:高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班 级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有 种错解】甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有 3x4x4 = 48种方案错因分析】显然这里有重复计算如：“班先派去了甲工厂，人班选择时也去了甲工厂, 这与人班先派去了甲工厂，〃班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作 了不一样的情况，并且这种重复很难排除。

正解】用间接法先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况, 即：4x4x4-3x3x3 = 37 种方案说明：排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、 分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合 学好推理证明易错题分析数学归纳法是证明与正整数有关的问题，用数学归纳法证明时要分两步一结论，缺一 不可一、对假设部分设而不用例 1：用数学归纳法证明：12 +22 +32 +••• + /? =-71(/2+ l)(2n + l)6【错解】当〃 =1时，左边=1右边=」x 1 X (1 + 1 ) X (2 X 1 4- 1) =1,所以等式成立O假设当n=k时等式成立W 12 +22 +32 +・・・妃二』灯化+ 1)(24 + 1)6那么当n=k+l时：12 +22 +32 +... + 妃+(比+ 1)2 = 1(2+ l)[(k + l) + l][2(C +1) + 1]6= 上伏 + 1)(* + 2)(2# + 3)6也就是说当n = k +1时，等式成立所以对任何"GN*等式成立错因分析】用数学归纳法证明第2步骤时，在从到“ & + 1”的过程中，必须把n=k 的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出〃 =k + 1时的命题所以在推导过程 中，故必须把n=k时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。

正解】I2 + 22 + 32 +... + k2 + (k +1)2 = -k{k + l)(2jt +1) + (Z: +1)261 1 9 1=(A +1)[- + 1) + (#+!)] = — (k +1)(2* 之 + 7k + 6) = — (# +1)( A + 2)(2# + 3)6 6 6= L(k + l)[值+ 1) + 1][2Q + 1) + 1],即当n = k +1 时，等式成立 6所以对任何*等式成立二、机械套用数学归纳法中的两个步骤例2：当〃为正奇数时，7〃+1能否被8整除？若能用数学归纳法证明若不能请举出反 例错解】当n=l时，7+1=8能被8整除命题成立假设当n=k时命题成立即乃+1能被8整除则当 n=k+l 时，7A+1+1 = 7(7+1)-6 不能 8 整除因为n为正奇数，所以7〃+1不能被8整除错因分析】机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了 n是正奇数的条件，证明前要 看准己知条件正解】n=k时命题成立，即脖+1能被8整除当蚌1<+2 时，7灯2+1 = 72(7*+1) + 1 —7之=49 (7* + 1)-48因为7*+1能被8整除，旦48能被8整除。

所以7*松+1能被8整除所以当n=k+2时命题成立所以当〃为正奇数时，7*+1能被8整除三、没有搞清从k到k+1的跨度例 3:求证： 1 ... A 1〃 + 1 /? + 2 3/7 4-1【错解】当n =1时，不等式成立则当n=k+l时,假设n=k时命题成立，即一^ + ^^ + ... + ^^>1 k + 1 k + 2 3k +1 1 … 1 >1 k + 2 k +。