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金融数学,教材《金融数学》 李向科主编 人民大学出版社，2004年 授课教师：李向科 Lixiangke@,第一章 数学预备知识,后期学习所要使用的数学上的结论 复习和加强已经学过的数学的认识 对部分数学概念的经济应用进行说明 分为以下4个部分： 线性代数基础 数学模型和建立模型 优化问题求解 效用函数（凸函数和凹函数）,第一章第一节 线性代数基础,普遍涉及到的和需要强调的概念 正交矩阵，对称矩阵对角化，特征值 二次型，正定矩阵 欧氏空间： 向量的内积（inner product） 向量的长度,向量的距离distance 柯西布尼亚科夫斯基不等式 向量的夹角，正交orthogonal 投影Project，最小二乘法least square,其他两个内积的定义,两个随机变量X和Y的内积 协方差：(X,Y)=cov (X,Y) 相关系数： 两个函数f(x)和g(x)的内积 在此基础上同样有：距离、长度、正交、投影等几何空间中的概念,矩阵和行列式的微分,几个结论：X是向量，A是矩阵,,第一章第二节数学模型和模型的建立,模型来源于原型，对原型的抽象 数学模型需要量化和假设 数学模型表现形式可以是数学公式，包括等式或不等式，也可以是图表 数学模型的最佳结果是数学公式 自然科学中数学公式较多，并且应用效果好 社会科学中数学公式少，且效果差 经济和金融学中有很多数学模型 本教材后面几章介绍金融中的几个著名数学模型,建立模型的步骤,建模＝建立模型或模型建立，modeling 建模准备：了解实际问题的背景 模型假设：对问题进行简化 建立数学模型：用数学方式（公式、图表）表现出实际问题，尽量简单化原则 模型求解：求解出结果，优化求解较多 模型分析：得到结论，做出预测 模型检验和修正：与实际比较，模拟实际,建模举例,问题的背景： 资金总量为M，可投资于 n＋1种资产 Si (i＝0，1，…，n)，0表示存银行 Si 的平均收益率为ri ，风险损失率为qi 总体风险＝Si 中的最大风险 投资Si 的交易费率为pi，低于ui 按ui计算 同期银行存款为r0 =5%，无交易费用和损失 问题：如何总资金M如何投资，使得尽可能收益大，总体风险尽可能小,对问题的分析,两个目标：净收益大，风险损失小 两个目标不可能同时满足 限定其中一个目标的范围，另一个尽可能最优 最优解是不唯一的,用数学符号和公式表示模型,xi表示购买的Si资金量，ci(xi)是交易费， 投资于Si的净收益：Ri (xi) ＝ rixi－ ci(xi) 总净收益：R＝Σ 投资于Si的风险损失：Qi (xi) ＝ qixi 总风险损失：Q＝ 投资于Si所需资金：Fi(xi) =xi＋ ci(xi) 约束条件为总资金的限制 M＝F＝Σ（xi＋ ci(xi)）,,交易费用的数学表达式和图形,,几个优化模型,两目标优化模型：属于多目标规划问题 单目标优化模型：分三种情况 确定风险不能超过k，求最大收益 确定收益水平不能低于h，求最小损失,假定相对偏好1ρ0， 上面模型不容易求解。

简化费用的表达式可以将模型简化问题， 假设费用：ci(xi)＝pixi 资金约束条件变成：F（x）＝ Σ(1+pi)xi＝M 前面的三个模型都可以变成线性规划问题，对此已经有成熟的方法解决 线性规划 linear program,第一章第三节 极值和条件极值的求解,多元函数的极值及其判断 一阶偏导数为0（必要条件）， 二阶偏导数，海森矩阵Hessian matrix的正定和负定 正定——极小值，负定——极大值 二次多项式的极值点 如果是凹函数或凸函数，则一阶条件也是充分条件,计算条件极值的拉格朗日乘子法,约束条件：gi(x1,…,xn)=bi，i=1,2,…,m Lagrange multiplier将有约束条件问题转化成无约束条件极值 引入拉格朗日乘数，构造新的函数 m+n个方程为一阶条件 拉格朗日乘子法与线性规划的区别：约束条件中的等式和不等式 应用实例,求解收益相同风险最小的投资组合,有n种资产，R是资产的期望收益率向量，W是资产的投资比例向量（需要求解），V是资产协方差矩阵，该问题是下面的优化问题 该优化问题有解的充分必要条件是拉格朗日乘子函数的一阶导数等于0,第一章第四节凹函数、凸函数和效用函数,效用utility是主观感受，人为设定的满意程度 效用函数utility function是对满意程度的量化 效用函数分为：序数效用、基数效用函数 序数效用ordinal utility：效用之间只能排序 基数效用cardinal utility：用具体数值表示效用的大小 期望效用：有多种结果时用效用的数学期望 E（u）＝Σ 或 积分,两个效用的例子,例一、商品配置问题。

用确定数量资金购买商品，如何确定每种商品的数量x1 效用函数是多元函数u(x1, x2 ,…,xn ) 例二、生活质量问题收入和休息之间的协调 效用函数是收入L和休息y 的函数u(l,y) T是总时间，r表示每小时工资 效用函数成为一元函数 u(l,y)＝ u(rx ,T－x),偏好关系preference relation,选择集经过处理可以成为凸子集 其中任何两个元素可以比较“好坏”——关系 “偏好关系”满足：自反性、完备性、传递性 无差异关系和严格偏好关系 字典序dictionary order,确定状态下的效用函数 具有偏好关系的效用函数u(.) u(x)≥u(y)当且仅当x≥y 满足：保序、中值、有界性 序数效用函数存在性定理，,假设投资有两种结果x和y，概率是p和1－p 投资的结果是“彩票”，xp&(1-p)y 根据各自具体情况定义偏好关系， 需要满足10个条件 不确定状态下，基数和序数效用函数存在定理 将选择问题转换成数值大小的比较,不确定状态下的效用函数,风险态度——效用函数应用,凸、凹函数定义：分一元和多元函数 风险态度：厌恶、偏好、中性 彩票的例子两种彩票A和B A：＋100； B：随机变量x:＋500（概率＝p），or -100 两种的期望所得应该相同，因此，p＝1/3 有下面3种可能的决策： 选择A——风险厌恶 选择B——风险偏好 随意选择AB——风险中性,用效用函数u(x)分析3种态度,有了效用函数u(x)后 选择A得到的效用＝ u(100) 选择B得到的是期望效用 E(u(x))＝ u(500)/3＋2u(-100)/3 比较E(u(x))和 u(E(x))的大小，得到风险态度 u(E(x)) E(u(x))：u是凹函数，风险厌恶 u(E(x)) E(u(x))：u是凸函数，风险偏好 u(E(x)) = E(u(x))：风险中性,风险态度的图形表示,U(a ),U(b ),U(b ),U(a ),U(a ),a,a,a,b,b,b,效用函数例子,绝对风险厌恶函数：A(x)=-u’’(x)/u’(x) 相对风险厌恶函数：R(x)=xA(x) 风险容忍函数：T(x)=1/A(x) 二次效用函数：u(x)=ax－bx2 幂效用函数：u(x)=－x－1 双曲线绝对风险回避效用函数： 负指数效用函数：u(x)=－e－ax,。