第三章 弹性应力-应变关系.docx

第三章 弹性应力－应变关系，弹性问题的求解理想弹性体：1）物体是连续的，由连续介质组成，没有间隙，应力、应变和位移等是连续的2）物体是均匀的，各部分具有相同性质，弹性常数不随位置坐标改变；3）物体各向同性；4）物体是完全弹性的线性弹性理论 非线性弹性理论 塑性理论§3.1 广义虎克定律单向拉伸时： G = Es E为材料弹性模量11 1 1ss 二一us 二一U 1122 33 11 Eu 为横向变形系数，又称泊松比纯剪切应力状态时：T 二 G12 12G 为剪切弹性模量一、广义虎克定律物理方程，本构方程，描述弹性体内任一点应力分量与应变分量之间的关系G = c s + c s + c s + c s + c s + c s11 11 11 12 22 13 33 14 12 15 23 16 31g = c s + c s + c s + c s + c s + c s22 21 11 22 22 23 33 24 12 25 23 26 31g = c s + c s + c s + c s + c s + c s33 31 11 32 22 33 33 34 12 35 23 36 31g = c s + c s + c s + c s + c s + c s12 41 11 42 22 43 33 44 12 45 23 46 31g = c s + c s + c s + c s + c s + c s2351 1152 2253 3354 1255 2356 31g =cs+c s+c s+c s+c s+cs3161 1162 2263 3364 1265 2366 31或s=sg+s g+s g+s g +sg+s g11111 1 1 2221 3 3 314121 5 2s=sg+s g+s g +sg +sg+s g22211 1 22 2 22 3 3324122 5 2s=sg+s g+s g+s g+s g+s g33 31 11 32 22 33 33 34 12 35 23 36 318=sQ+ s Q+ s Q+ s Q+ s Q+ s Q1241 1142 2243 3344 1245 2346 318sQ+ s Q+ s Q+ s Q+ s Q+ s Q2351 1152 2253 3354 1255 2356 318sQ+ s Q+ s Q+ s Q+ s Q+ s Q3161 1162 2263 3364 1265 2366 31c 为弹性系数 s 为弹性柔度 ij ij对各向同性的弹性材料，独立的弹性常数只有两个。

各向同性条件下的广义虎克定律8 二 Q —U (Q +Q )]11 E 11 22 338 = [Q —U (Q +Q )]22 E 22 11 338 二 [Q —U (Q +Q )]33 E 33 11 2218 = Q12 2G 12——Q2 3 2G 2 3——Q3 1 2G311+U U8 = Q 一一& Qij E ij E ij kkE2 (1 +u)三、体积虎克定律1 — 2U 、8+8+8= (Q +Q +Q )11 22 33 E 11 22 333(1—2U)n 8 = Qv E mQ =_^ 8= k8m 3(1 — 2U ) r rk 称体积弹性模量， 体积应变与平均正压力成正比 四、用应变表应力的广义虎克定律18 = [Q +UQ —U (Q +Q +Q )]11 E 11 11 11 22 33=—[(1 +u)q — 3uq ]E 11 11 mUE[(1+U)Q11 1 — 2UQ11E U E8 + 81+U 11 (1+U)(1— 2U) r 81+U 11卩=(1+u )(-1 u2 = Ge=8 =8i i v5 = le + 2卩811 115 = le + 222225 = le + 2 卩 833 3 35 = 2卩812 125 = 2卩823 23531=2卩8315 = 15 e + 2卩833 ij ij九，卩为拉梅（Lame）弹性常数§3.2 弹性应变能、弹性应变能密度单位体积内积蓄的弹性应变能“0单拉时： U01= —<58252=2E1=—ry2三维应力时，正应力遇另外两个方向正应变分量垂直剪应变只与剪应力有关，故纯剪时； U0且正应力分量与剪应变无关，1=—(5 8 +5 8 +5 8 +5 8 +5 8 +52 11 1 1 2 2 2 2 33 33 12 121=—5 82 i j i j1=5 82 i i8 +521 2 18 +5 8 +5 82 3 2 3 32 3 2) 31 31 1 3 1 3利用广义虎克定律，有(A 1 uU 9丿=-[(52 +52 +52 ) 一 (5 5 +5 5 +5 5 )0 ij 2 11 22 33 E 11 22 22 33 33 11U (5 )= 10 i 2E1[(52+52+52)-2u(55 +5 5 +5 5 )]2 3 1 2 2 3 3 1+ 丄(5 +5 +52G 12 23 31)]U(8 ) = [(8 +8 +8 )2 + G(82 +82 +82 ) + 2G(82 +82 +82 )]0 ij 2 111U(8 ) = (8 +8 +8 )2 + G(82 +82 +82)0 ij 2 1 2 3dU(5 )0_i— = 805 i223311 22 3312 23 31dU C ）0__i- = 8亦 ijij、体积变化应变能密度和形状变化应变能密度单位体积的体积改变积蓄的弹性应变能UV0单位体积的形状改变积蓄的弹性应变能竹013U = 3 •—n 8 = 8V 0 2 m m 2 m m1 - 2u6 E(Q +Q +Q )2123Uv 0取决于材料的弹性常数及平均正应力= U -U0 V 01= [(Q 2 +Q 2 +Q 2)一 2u(Q Q +Q Q +Q Q )] 一2E 1 2 3 1 2 2 3 3 11 - 2d6 E(Q +Q +Q )2123(Q 2 +Q 2 +Q 2 - - - )3E 1 2 3 1 2 2 3 3 11 +D6 E[(Q -Q )2+(Q -Q )2+(Q -Q )2]1 2 2 3 3 13 1+D 3 T 2T 2 = 82 E 8 4 GU©0取决于材料的弹性常数及八面体剪应加8U©0U©011 =—Q‘8‘= Q‘8‘2i i 2 ij ij§3.3 虚功原理（虚位移原理）虚功原理：在外力作用下处于平衡状态的物体，当经受微小虚位移§u时，外力在虚位移5 uii所作的总虚功5 W，等于虚位移5u在物体内部所引起的总虚应变能5 U。

i5W = 5UBL §8 dv = JJJ F5 u dv + JJJ T5 u dsij ij i i i iV V V【证明】设物体在体力F和面力T作用下处于平衡，则Q + F = 0ij, j i5 W = BJ F 5 udv + BJ T 5 u dsi i i iF5 u dv + n 5 u dsi i i j j i=BJ F 5 udv + BJ (Q 5 u ) • jds (高斯定理)i i ij i= JlJC + F)5udv + BJq5u dsij , j i i ij i , jVV=JJJQ 5s dV =5uij ijV虚功原理适用于任何连续体，不只限于弹性体§3.4 最小总势能原理在所有满足给定的几何边界条件的位移场中，其真实的位移场总是使总势能取最小值U = U(s ) = U(u ) 5U = Q 5sij i i j i j川5 U (u )dv = BJ F5 u dv + JJJ T 5 u dsi i i i i假定物体从平衡位置有微小的虚位移5 u，物体的尺寸和形状变化可忽略不计，则F和 iiVVT 的大小及方向不变，符号可提出积分外。

i5 fff U (u )dv - JJJ Fu dv - JJJ Tu ds = 0i i i i iVV5 [U - W ] = 5兀=0P兀为系统总势能，在给定外力作用下，实际位移总使总势能的一阶变分为零，即总势P能取驻值，而稳定平衡物体在有虚位移而偏离平衡位置时，势能总是增加，故驻值为极小值§3.5 弹性问题得求解、未知量与基本方程15个未知量 Q (x,x ,x ),s (x,x ,x ),u (x,x ,x )ij123ij 1 2 3ij 1 2 315 个基本方程1 ()1+UuQ = 0s = \z+us = Q一 5 Qij,ii j 2i j j ii j Eij E j i kk、边界条件与求解方法基本方程给出通解，必须加上定解条件， 定解条件有初始条件和边界条件两方面，初始条件时指在某特定时刻得情况（一般不 考虑动态问题时不讨论），边界条件时指弹性边界上外力和位移情况弹性力学中，边界条件有1）应力边界条件 （F,T 已知）ii2） 位移边界条件 （F,u 已知）ii3） 混合边界条件相应地，弹性力学问题得求解方法有1）应力法 应力分量未基本未知量2）位移法 位移分量未基本未知量3）混合法三、解的存在性和唯一性弹性力学问题的解是存在的，而且，在小变形条件下，受一组平衡力系作用的物体得 应力和应变得解是唯一的。

四、位移法解弹性问题duc =入€ + 2卩 111 dx1duc =ke + 2 卩 222 dx'du du 'c = p ——去+——112 ( dx dx 丿12c23' du二 P —2I dxdu '+——3dx丿2c33233C 二卩——3 +——1。