数学模型-第02章(第五版)课件.ppt

• 研究对象的机理比较简单研究对象的机理比较简单• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模尽量采用简单的数学工具来建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎. 第二章 初等模型1PPT学习交流 第二章 初等模型2.1 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.2 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.3 实物交换实物交换  2.4 汽车刹车距离与道路通行能力汽车刹车距离与道路通行能力2.5 估计出租车的总数估计出租车的总数2.6 评选举重总冠军评选举重总冠军2.7 解读解读CPI 2.8 核军备竞赛核军备竞赛2.9 扬帆远航扬帆远航2.10 节水洗衣机节水洗衣机2PPT学习交流2d墙墙室室内内  T1室室外外  T2dd墙墙l室室内内  T1室室外外  T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失.假假设设•热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流.•T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态.•材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数.建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q ~单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T~温差温差, d~材料厚度材料厚度, k~热传导系数热传导系数2.1￿￿2.1￿￿双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效双层单层3PPT学习交流dd墙墙l室室内内  T1室室外外  T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2~空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模4PPT学习交流记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内  T1室室外外  T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=4~8  10-3 (J/cm·s·kw·h),  k2=2.5 10-4,   k1/k2=16 ~32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2 =16建模建模5PPT学习交流hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4,  则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失的热量损失.结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系所以如此小，是由于层间空气的热传导系数数k2 2极低极低, , 而这要求空气非常干燥、不流通而这要求空气非常干燥、不流通. .房间通过天花板、墙壁、房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多损失的热量更多.实际上双层窗的功效不会如此之大实际上双层窗的功效不会如此之大!6PPT学习交流2.2￿￿2.2￿￿划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇          2000m成绩成绩 t (min)种类种类     1      2       3       4      平均平均单人单人  7.16  7.25  7.28  7.17   7.21双人双人  6.87  6.92  6.95  6.77   6.88四人四人  6.33  6.42  6.48  6.13   6.32八人八人  5.87  5.92  5.82  5.73   5.84空艇重空艇重w0(kg)   桨桨手数手数n     16.3     13.6      18.1     14.7对四种赛艇对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人单人、双人、四人、八人) 4次国际次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨桨手数有某手数有某种关系种关系.  试建立数学模型揭示这种关系试建立数学模型揭示这种关系.问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和质量调查赛艇的尺寸和质量l /b,  w0/n 基本不变基本不变艇长艇长l  艇宽艇宽b l/b  (m)     (m) 7.93    0.293   27.0 9.76    0.356   27.411.75   0.574   21.018.28   0.610   30.07PPT学习交流问题分析问题分析• 前进阻力前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力• 前进动力前进动力 ~ 桨手的划桨功率桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨划桨功率功率 赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力桨手桨手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 • 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. .• 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型. .8PPT学习交流模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正成正比比2））v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v, 浸没面积浸没面积 s, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 桨手数桨手数 n, 桨手功率桨手功率 p, 桨手体重桨手体重 w, 艇重艇重 W.艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3））w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比桨手的特征桨手的特征模型模型建立建立f    sv2,p    wv     (n/s)1/3s1/2    A1/3, A   W(=w0+nw)     n s    n2/3v    n1/9比赛成绩比赛成绩 t    n – 1/9np fv,9PPT学习交流模型检验模型检验n         t1      7.212      6.884      6.328      5.84线性最小二乘法线性最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t    n – 1/ 9 进行检验进行检验.与模型吻合！与模型吻合！tn12487.216.886.325.84••••O10PPT学习交流划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩• 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.• 利用物理基本知识分析问题利用物理基本知识分析问题.• 模型假设比较粗糙模型假设比较粗糙.• 利用合适的物理定律及简单的比例利用合适的物理定律及简单的比例方法建模方法建模(只考虑各种艇的相对速度只考虑各种艇的相对速度).• 模型结果与实际数据十分吻合模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！巧合！)11PPT学习交流问问题题甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定商定相互交换相互交换一部分一部分. 研究实物交换方案研究实物交换方案.yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲,乙占有乙占有X,Y的数量的数量. 设交换前甲占设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0,  作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种都是一种交换方案交换方案：甲占有：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y). xyy0Ox0••2.3￿￿实物交换实物交换12PPT学习交流xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2..甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有具有同样的满意同样的满意程度程度,即即p1, p2对甲是对甲是无差别无差别的的.MN将将所有与所有与p1, p2无差别的点无差别的点连接起来连接起来, 得到一条得到一条无差别无差别曲线曲线MN.线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同, 线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度的偏爱程度.N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲，在另一条无差别曲线线M1N1上上, 于是形成于是形成一族无差别曲线一族无差别曲线（无数条）（无数条）.13PPT学习交流p1.p2.c1 yOxf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：• 单调减单调减(x增加增加, y减小减小)• 下凸下凸(凸向原点凸向原点)• 互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的  y换取换取较少的较少的  x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的  x换取换取较少的较少的  y.甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1~满意度满意度（（f ~等满意度曲线）等满意度曲线）甲的无差别曲线甲的无差别曲线14PPT学习交流xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有具有相同性质（形状可以不同）相同性质（形状可以不同）. 双方的交换路径双方的交换路径xyy0Ox0f=c1O'x'y'g=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系坐标系x'O'y', 且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp• P'• 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上! !因为在因为在AB外的任一点外的任一点p', (双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p.两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB分析与建模分析与建模15PPT学习交流AB 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 ~ 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩形内矩形内任一点任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族X,Y用货币衡量其价值，设用货币衡量其价值，设交换前交换前x0,y0价值相同，则等价值相同，则等价交换原则下交换路径为价交换原则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CD.AB与与CD的交点的交点p设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)等价交等价交换原则换原则x0yy0O..xp.16PPT学习交流2.4￿￿2.4￿￿汽车刹车距离与道路通行能力汽车刹车距离与道路通行能力提高道路通行能力是现代城市交通面临的重要课题.背景和问题背景和问题•车辆速度越高、密度越大，道路通行能力越大.•￿介绍交通流的主要参数及基本规律；•￿讨论汽车刹车距离与道路通行能力两个模型.￿•车速高，刹车距离变大，车辆密度将受到制约.需要对影响通行能力的因素进行综合分析.17PPT学习交流交通流的主要参数及基本规律交通流的主要参数及基本规律流量流量q~某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆辆/h ) 密度密度k~某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆辆/km ) 速度速度v ~某时刻通过道路某断面的车辆速度某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h) 交通流~￿标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响.￿借用物理学概念,￿将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体,￿用流量、速度、密度3个参数描述其基本特性.￿3个参数之间的基本关系￿18PPT学习交流速度速度v 与密度与密度k 的关系的关系 vf￿~畅行车速(k=0时)kj~阻塞密度(v=0时)数据分析、机理分析流量q与密度k￿的关系车速v=vf￿/2时流量q最大密度k变大，流量q增加；k=kj/2时q最大；k继续变大，￿q减小.￿车流密度加大￿￿￿￿￿司机被迫减速￿交通流的主要参数及基本规律交通流的主要参数及基本规律线性模型￿抛物线流量q与速度v的关系19PPT学习交流速度速度v流量流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度密度k 流量流量qkm=kj/2￿~最大流量时的密度vm=vf/2￿~最大流量时的速度￿交通流的主要参数及基本规律交通流的主要参数及基本规律20PPT学习交流车速越快刹车距离越长.刹车距离~从司机决定刹车到车完全停止行驶的距离.汽车刹车距离模型汽车刹车距离模型二者是线性关系吗？车速v (km/h)20406080100120140刹车距离d (m)6.5 17.8 33.6 57.183.4 118.0 153.5d￿与v不是线性关系！vd需对刹车过程作机理分析，建立d￿与v的数学模型.测试数据21PPT学习交流问题分析问题分析最大制动力与车质量成正比,使汽车作匀减速运动常数刹车距离￿~￿反应距离、制动距离常数反应距离~司机决定刹车到制动器开始起作用.制动距离反应距离反应时间车速司机状况制动系统灵活性制动器作用力车重、车速道路、气候…制动距离~制动器开始起作用到汽车完全停止.22PPT学习交流模型假设模型假设1.  刹车距离刹车距离 d 为反应距离为反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2之和之和.2.￿反应距离￿d1与车速￿v￿成正比,￿比例系数为反应时间.3. 刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F ：：•￿￿F作的功等于汽车动能的改变.•￿￿F与车的质量￿m￿成正比.23PPT学习交流F￿=￿mad1=￿c1￿v模型建立模型建立F￿d2=￿m￿v2/2d = d1 +d2制动距离为d2时，制动力F作的功为Fd2车速从v变成0，动能的变化为mv2/2d2=￿c2￿v2￿,￿c2=￿m￿/2F￿d￿=￿c1v￿+￿c2￿v2￿参数估计•调查交通工程学的相关资料：•根据测试数据对模型作拟合.司机反应时间c1约为0.7~1s，系数c2约为0.01(￿mh2/km2)c2=￿1￿/2a￿24PPT学习交流城市通行能力模型城市通行能力模型道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数.￿通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷.饱和度~流量与通行能力的比值,￿表示道路的负荷程度.通行能力~在安全条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数N￿(辆/h).￿v~车速￿(km/h)，￿D~最小车头间隔(m)￿N=1000￿v/D25PPT学习交流城市干道的通行能力城市干道的通行能力最小车头间隔D主要由刹车距离d决定：d0~车身标准长度与两车间安全距离之和，取固定值.￿车速v一定时，道路通行能力N与c1，c2，d0（道路、车辆、司机等状况）有关.城市通行能力模型城市通行能力模型D=d+d0d￿=￿c1v￿+￿c2￿v2￿N=1000￿v/D26PPT学习交流当d0，c1，￿c2变大时最大通行能力Nm减小.￿城市通行能力模型城市通行能力模型最大通行能力27PPT学习交流一些人喜欢记驶过身旁的汽车号码.两难境地的决策与朋友打赌的“骰子”共识：出现任何号码汽车的机会相同.随意记下驶过的10辆出租车牌号：0421,￿0128,￿0702,￿0410,￿0598,￿0674,￿0712,￿0529,￿0867,￿0312估计这座城市出租车的总数.出租车牌号从某一个数字0101按顺序发放.2.5￿￿2.5￿￿估计出租车的总数估计出租车的总数28PPT学习交流估计出租车的总数估计出租车的总数问题分析问题分析10个号码从小到大重新排列.￿[x0,￿x]￿区间内全部整数值￿~￿总体x1,￿x2,￿…￿,￿x10￿~￿总体的一个样本根据样本和x0对总体的x作出估计.起始号码(已知)终止号码(未知)出租车总数为￿x-x0+129PPT学习交流起始号码x0平移为0001模型建立模型建立总体￿~￿全部号码{0001,￿0002,￿…￿,￿x}样本￿~￿总体中的n个号码从小到大排列￿￿x1,￿x2,￿…￿,￿xn建立由x1,￿x2,￿…￿,￿xn估计x的模型基本假定：每个xi￿取自总体中任一号码的概率相等.￿x~出租车总数估计出租车的总数估计出租车的总数30PPT学习交流模型1￿￿￿￿平均值模型模型建立模型建立总数是样本均值的2倍31PPT学习交流模型2￿￿￿￿￿中位数模型x1-1x-xn假定：样本的最小值与最大值在总体中对称.模型3￿￿￿￿两端间隔对称模型x1-1=x-xn32PPT学习交流模型4￿￿￿￿￿平均间隔模型把起始号码和样本排成数列：1,￿x1,￿x2,￿…￿,￿xn,相邻两数有n个间隔：x1 1,￿x2 x1 1,￿…￿,￿xn ￿xn-1 1n个间隔的平均值作为xn与x间隔的估计33PPT学习交流模型5￿￿￿￿￿区间均分模型将总体区间[1,￿x]平均分成￿n￿份.每个小区间长度假定：样本中每个xi￿都位于小区间的中点.x xn应是小区间长度的一半34PPT学习交流计算与分析计算与分析第1样本：￿0321,￿￿0028,￿￿0602,￿￿0310,￿￿0498,￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿0574,￿￿0612,￿￿0429,￿￿0767,￿￿0212第2样本：0249,￿￿0739,￿￿0344,￿￿0148,￿￿0524,￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿0284,￿￿0351,￿￿0089,￿￿0206,￿￿0327设定x0￿=0001 模型1 模型2模型3模型4模型5最大最大相差第1样本870926794843807134第2样本651610827812778217相差相差221316333129用5个模型估计出租车总数x不合理不合理 (x = 651, 610 < 739)6516100739不稳定（相差大）不稳定（相差大）35PPT学习交流计算与分析计算与分析用全部样本，有用全部样本，有统计依据统计依据36PPT学习交流数值模拟数值模拟样本估计结果与总体对比,￿评价各个模型.用5个模型分别对每个样本估计总体x.画m个样本估计的x的直方图，分析x的分布.给定总体{1,￿2,￿…￿,￿x}，x=1000从总体中取n=10个数为一个样本，共m=200个样本对每个模型计算m个样本估计的x的平均值、标准差及平均值与真值x=1000间的误差37PPT学习交流 模型1模型2模型3模型4模型5平均值1023.2 1037.41010.01005.6962.3平均值误差23.237.410.05.6-37.7标准差170.1261.0126.390.987.0 模型1模型2模型3模型4模型5平均值986.5985.4980.8992.9950.1平均值误差-13.5-14.6-19.2-7.1-49.9标准差181.4271.1107.986.682.8数值模拟数值模拟第1次￿模拟第2次￿模拟总体x=1000,每个样本￿n=10,￿m=200个样本平均值误差小￿标准差大标准差小平均值误差大￿模型4￿(平均间隔模型)较优.5.690.9-7.186.638PPT学习交流模型1模型2模型3模型4模型5数值模拟数值模拟第第1次模拟的直方图次模拟的直方图左低右高的非对称型左右对称型39PPT学习交流•模型中起始号码已知(平移至1),限制了应用范围.小结与评注•5个模型中平均值和中位数模型用到一点统计，其他3个模型来自常识,￿后者竟然较前者更优.•数值模拟是模型检验的重要方法:￿￿给定总体通过模拟产生样本,￿根据模型得到总体参数,￿进行比较和评价.问题：哪些模型可以推广到起始号码未知的情况？40PPT学习交流与与“估计出租车的总数估计出租车的总数”相关的历史事实相关的历史事实二战中一支盟军的指挥部急需掌握德军坦克的数量.盟军俘获了若干辆德军坦克，得到它们的序列号码.情报人员获知这支部队的坦克号码按顺序编排.以俘获的坦克号码为样本，估计出坦克总量.英美情报机构通过捕获德军武器的序列编号，对军用轮胎、枪支、装甲车等众多装备的产量做出估计.战后将估计值与从档案中得到的实际产量进行比较，多数估计的误差在10%以内！41PPT学习交流举重依靠运动员全身力量完成的体育项目按照运动员体重划分级别进行比赛.赛艇拳击摔跤每个级别都有一个冠军.能评选出一个“总冠军”吗？……2.6￿￿￿2.6￿￿￿评选举重总冠军评选举重总冠军42PPT学习交流56kg56kg,￿ ,￿62kg62kg,￿ ,￿69kg69kg,￿ ,￿77k77k,￿ ,￿85kg85kg,￿ ,￿94kg94kg,￿ ,￿105kg105kg,￿ ,￿105kg105kg以上以上. .￿ ￿男子举重比赛按运动员体重￿(上限)分为8个级别：问题问题每个级别设3个项目：抓举、挺举、总成绩.每个级别、每个项目都产生一个冠军.同一项目￿(如抓举)￿的8个冠军中怎样选出“总冠军”？不同级别冠军成绩按体重￿“折合”到某个标准级别，比较折合成绩，选出最高的作为总冠军.评选举重总冠军评选举重总冠军43PPT学习交流问题分析问题分析比赛产生各级别冠军成绩的实际值建立体重与举重成绩的数学模型计算各级别冠军举重成绩的理论值计算实际值与理论值的比值构造一个简单、合适的指标作为折合成绩各级别冠军折合成绩最高的为总冠军评选举重总冠军评选举重总冠军44PPT学习交流数据收集数据收集利用举重比赛的世界纪录建立数学模型.级别级别项目项目纪录纪录保持者保持者日期日期62 kg级级抓举抓举153 kg石智勇（中国）石智勇（中国）2002.6.28挺举挺举182 kg乐茂盛（中国）乐茂盛（中国）2002.10.2总成绩总成绩327 kg金恩国（朝鲜）金恩国（朝鲜）2012.7.3169 kg级级抓举抓举165 kg马尔科夫（保加利亚）马尔科夫（保加利亚） 2000.9.20挺举挺举198 kg廖辉廖辉（中国）（中国）2013.10.23 总成绩总成绩358 kg廖辉（中国）廖辉（中国）2013.10.23 •多年积累下来的世界记录与某一次比赛成绩相比，更能避免偶然性.•不同级别成绩的差别基本上由运动员体重决定.45PPT学习交流不掌握创造记录的运动员的实际体重.因为体重越大、举得越重，比赛时运动员体重都会调整到非常接近各级别的上限.105￿kg以上级未设上限，只在其余7个级别中选总冠军.￿数据收集数据收集利用举重比赛的世界纪录建立数学模型.46PPT学习交流世界记录与体重数据的散点图数据分析数据分析大致呈线性关系大级别成绩的增加变慢线性关系有所改进幂函数(幂次小于1)可能更合适世界记录体重普通坐标普通坐标世界记录体重对数坐标对数坐标47PPT学习交流建立举重总成绩y与运动员体重w的数学模型模型模型建立建立模型1￿￿￿￿￿线性模型￿最小二乘法编程计算￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿k￿=￿2.7039-60k￿ ￿430/160=￿2.69估算估算线性模型yw43016048PPT学习交流模型2￿￿￿￿幂函数模型￿运动生理学确定幂函数的幂次举重总成绩y与运动员体重w的模型s￿~￿肌肉截面积l￿~￿身体尺寸最小二乘法编程计算￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿k￿=￿20.4711幂函数模型￿yw2/349PPT学习交流模型3￿￿￿￿幂函数改进模型￿举重总成绩y与运动员体重w的模型最小二乘法•举重过程中力量的损失及身体尺寸的变化.50名顶尖运动员成绩的统计分析幂函数改进模型￿非肌肉部分50PPT学习交流举重总成绩y与运动员体重w的模型线性模型幂函数模型￿幂函数改进模型￿级别级别总成绩纪录总成绩纪录线性模型线性模型幂函数模型幂函数模型幂函数改进模型幂函数改进模型56 kg级级305 kg313.6486  (-2.76%)299.6405   (1.79%)298.2689   (2.26%)62 kg级级327 kg329.8718   (-0.87%)320.6784   (1.97%)324.3317   (0.82%)69 kg级级358 kg348.7988   (2.64%)344.3827   (3.95%)350.2363   (2.22%)77 kg级级379 kg370.4298   (2.58%)370.5121   (2.56%)375.7952  (1.12%)两个幂函数模型比线性模型改进两个幂函数模型比线性模型改进不大不大. .1.71%￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿2.32%￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿1.47%总平均误差51PPT学习交流评选总冠军评选总冠军wi￿(i=1,￿2,￿…,￿7)￿~从轻到重7个级别的体重(上限)线性模型幂函数模型￿幂函数改进模型￿各级别冠军的理论成绩yi￿~￿一次比赛中各级别冠军的实际成绩级别i冠军在评选总冠军中实力以线性模型为例52PPT学习交流评选总冠军评选总冠军任取级别i=4￿(w4=77kg级)为标准使￿z4=y4与实力成正比的指标按7个级别冠军的折合成绩排名，第一者为总冠军.~￿将体重折合成77kg级后级别i冠军的实际成绩.折合成绩模型中系数k随世界纪录的刷新而改变.53PPT学习交流评选总冠军评选总冠军折合成绩线性模型幂函数模型￿幂函数改进模型￿评选2008年北京奥运会男子举重比赛总冠军 级别级别 冠军获得者冠军获得者总成绩总成绩折合成绩及名次折合成绩及名次线性模型线性模型幂函数模型幂函数模型幂函数改进模型幂函数改进模型56 kg级级龙清泉（中）龙清泉（中）292 kg344.8621（（7）） 361.0644 （（5）） 367.8969 （（4））62 kg级级张湘祥（中）张湘祥（中）319 kg358.2213（（6）） 368.5729 （（3）） 369.6175 （（3））69 kg级级廖辉（中）廖辉（中）348 kg369.5814（（2）） 374.4039 （（1）） 373.3957 （（1））77 kg级级史才秀（韩）史才秀（韩）366 kg366.0000（（3）） 366.0000 （（4）） 366.0000 （（6））85 kg级级陆永（中）陆永（中）394 kg372.2621（（1）） 368.8735 （（2）） 371.7543 （（2））94 kg级级伊利亚（哈）伊利亚（哈）406 kg361.1818（（5）） 355.4413 （（6）） 362.5143 （（7））105 kg级级阿拉姆诺夫（白）阿拉姆诺夫（白）436 kg362.0121（（4）） 354.5581 （（7）） 367.7366 （（5））69 kg级级廖辉（中）廖辉（中）348 kg369.5814（（2）） 374.4039 （（1）） 373.3957 （（1））54PPT学习交流•3个模型中都只有一个以因子形式出现的系数k,可以在构造折合成绩时消去,便于评选总冠军.小结与评注•举重成绩与体重关系的数学模型是评选总冠军方法的基础.•通过世界纪录数据观察和机理分析分别建立线性模型、幂函数模型和幂函数改进模型.55PPT学习交流CPI￿(Consumer Price Index)￿~￿居民消费价格指数每月9日左右国家统计局发布上月全国CPI数据.反映购买消费品和服务项目时价格变动趋势的数字.观察通货膨胀水平的重要指标.从数学建模的思路，按照数据分析方法解读CPI.2.7￿￿￿2.7￿￿￿解读解读CPI56PPT学习交流按照时间顺序解读按照时间顺序解读CPICPI环比价格指数 以上月为基期进行对比消除季节变化和节日对价格的影响同比价格指数反映当前价格的波动以上年同月为基期进行对比通常公布价格指数增长率(%),方便了解价格上涨幅度2011.3环比增长率-0.2%2011.2环比增长率1.2%基期指数1002011.3同比增长率5.4%环比指数101.2 (2011.1为100)同比指数105.4 (2010.3为100)环比指数99.8(2011.2为100)57PPT学习交流月份￿k123456789101112环比￿(%)1.0 1.2  0.2 0.1 0.1 0.3 0.5 0.3 0.5 0.1  0.2 0.3全国2011年CPI各月份环比增长率环比价格指数pk~某年k月环比增长率(%)Pk￿~以上年12月为基期,￿本年k月的价格指数pk为正为正Pk上升上升,  pk为负为负Pk下降下降Pk涨幅回落涨幅回落Pk上升变缓上升变缓2011CPI环比58PPT学习交流月份k12345678910111220114.9 4.95.45.3 5.5 6.4 6.5 6.2 6.1 5.54.24.1 20124.5 3.23.63.4 3.0 2.2 1.8 2.0 1.9 1.72.02.5qk~某年k月同比增长率(%)同比价格指数全国2011,￿￿2012年CPI各月份同比增长率2012年比2011年每月价格上涨的幅度明显减少.59PPT学习交流qk(j)￿~￿j年k月同比指数环比价格指数与同比价格指数的关系pk(j)￿~￿j年k月环比指数xk(j)￿~￿j年k月价格指数（以j-2年12月为基期）60PPT学习交流从1月到k月以上年同一时期为基期进行对比.累计价格指数月份k123456789101112同比￿(%) 4.5 3.23.63.4 3.0 2.2 1.8 2.0 1.9 1.72.02.5累计累计(%) 4.5 3.93.83.7 3.5 3.3 3.1 2.9 2.8 2.72.72.6全国2012年CPI各月份同比增长率和累计增长率第k月的累计是1月至k月同比的平均值￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿（k=1,2，…，12）几个月的价格指数以其各个月价格指数的平均值度量.61PPT学习交流年价格指数每年1至12月同比的平均值年2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013￿(%) 3.91.81.54.85.9-0.73.35.42.62.6￿CPI100103.9105.8107.4112.5119.1118.3122.2128.8132.2135.6全国2004年至2013年CPI的增长从2003年到2013年全国CPI增长35%每年与上年比较的增长率62PPT学习交流按照分类结构解读按照分类结构解读CPICPI•与许多人对物价的亲身感受有较大差距.•近10年CPI平均年增长率不过3.5%.原因之一￿：CPI由由国家统计局对全国居民家庭衣食住行各类消费品和服务价格综合加工得到.•消费品和服务项目分8大类,约700个代表品种.•权重根据居民家庭用于各种消费品和服务项目的开支占总消费支出的比重确定.CPI由价格及其权重二者共同决定.63PPT学习交流大类中类权重￿￿(%)1食品￿粮食、油脂、肉禽及其制品、水产品、蛋、鲜菜、鲜果、液体乳及乳制品31.792烟酒及用品烟草、酒3.493衣着服装、鞋8.524家庭设备及维修服务 耐用消费品、家庭服务及加工维修服务5.645医疗保健个人用品中药材及中成药、西药、医疗保健服务9.646交通和通讯交通工具、车用燃料及零配件、通讯工具、通讯服务9.957娱乐教育文化用品及服务教育服务、文娱用耐用消费品及服务、文化娱乐类、旅游13.758居住建房及装修材料、住房租金、水、电、燃料17.22我国消费品和服务项目的类别及权重(2011年)按照分类结构解读按照分类结构解读CPICPI 64PPT学习交流居住次之•上世纪80年代食品权重约60%,￿每次调整都下降.•随着人们生活水平的提高及消费结构的变化，权重每5年、10年会有较大的调整.•居住中并不包含近年飞涨的购房支出，官方的解释是购房属于投资而非消费.按照分类结构解读按照分类结构解读CPICPI大类食品烟酒 衣着 家庭 医疗 交通 教育 居住权重(%)31.793.49 8.52 5.64 9.649.9513.7517.22食品权重最大教育、娱乐第三65PPT学习交流vi￿~￿第i大类价格指数v￿~￿CPI总水平wi￿~￿第i大类权重△v￿~￿v的增长率△vi￿~￿vi的增长率wi￿，vi￿，△vi￿按照分类结构解读按照分类结构解读CPICPI每个月CPI总水平的环比、同比指数v及增长率△v￿66PPT学习交流•权重对CPI总水平的大小有很大影响，引起对权重数值合理性的研究和讨论.•权重随时调整的具体情况不能为民众及时掌握.•利用每个月公布的CPI数据校核权重是否变化、估算调整后的权重,￿成为关注者、研究者的课题.按照分类结构解读按照分类结构解读CPICPI对权重的关注和讨论：67PPT学习交流几种校核与估算几种校核与估算权重权重的方法的方法1.￿利用公布的△vi,￿wi计算△v￿,检查与公布的△v是否相符月份食品△v1烟酒△v2衣着△v3家庭△v4医疗△v5交通△v6教育△v7居住△v8总水平△v总水平计算值12.91.42.51.51.8-0.30.52.92.01.980226.01.12.11.61.80.22.02.83.23.165532.71.02.31.61.7-0.31.72.92.12.046644.00.82.51.61.5-1.11.52.92.42.343553.20.52.51.61.5-1.21.33.02.12.058564.90.32.31.51.4-0.71.43.12.72.640475.00.22.21.41.2-0.11.32.82.72.629584.702.21.41.201.22.62.62.488996.1-0.22.31.41.1-0.21.92.63.13.0022106.5-0.22.41.51.0-0.62.52.63.23.1766115.9-0.22.01.31.0-0.52.82.63.02.9917124.1-0.42.11.40.9-0.12.92.82.52.50502013年CPI同比分类和总水平增长率68PPT学习交流•如果计算值与公布的△v相符，不能说明所有的wi没有改变.•如果稍有不符，无法确认是否数字舍入误差所致.几种校核与估算几种校核与估算权重权重的方法的方法公布的指数只有2位有效数字，对计算结果影响很大.1.￿利用公布的△vi,￿wi计算△v￿,检查与公布的△v是否相符69PPT学习交流￿2.￿利用公布的△vi及其对△v的影响计算权重，检查与原有的wi是否相符几种校核与估算几种校核与估算权重权重的方法的方法2013年1月食品同比上涨2.9%，影响总水平约0.95%月 123456789101112△v12.96.02.74.03.24.95.04.76.16.55.94.1△v0.95 1.98 0.88 1.33 1.05 1.59 1.61 1.54 1.98 2.11 1.92 1.33w10.3280.3300.3260.3360.3280.3250.3220.3280.3250.3250.3250.324由2013.1~12公布的△v1和△v计算w1原有w1=0.317970PPT学习交流￿2.￿利用公布的△vi及其对△v的影响计算权重，检查与原来的wi是否相符几种校核与估算几种校核与估算权重权重的方法的方法•如果数据完整，可以对各个权重wi分别计算、校核.•由于公布数据的有效数字所限，舍入误差对结果有不小影响.71PPT学习交流3.￿利用公布的n个月的△vi和△v作拟合，估计权重.△vik,￿△vk￿￿(i=1,…,8,￿k=1,…,￿n)用MATLAB命令w=A\b￿可得Aw=￿b￿的最小二乘解.含8个未知数w1,￿…,￿w8的n￿+1个方程.几种校核与估算几种校核与估算权重权重的方法的方法72PPT学习交流3.￿利用公布的n个月的△vi和△v作拟合，估计权重.几种校核与估算几种校核与估算权重权重的方法的方法原始数据精度太低(1或2位有效数字)权重n=72（2011-2013）加非负约束原始w10.31420.31430.3179w2-0.003500.0349w30.09560.09530.0852w40.08340.08170.0564w50.13780.13370.0964w60.06930.06980.0995w70.14750.14870.1375w80.14260.14390.17222011~2013逐月环比和同比数据计算结果有较大差距，甚至出现负值对权重加非负约束后结果仍相差较大73PPT学习交流按照地区差别解读按照地区差别解读CPICPI不同地区的经济发展和居民生活水平的差异较大，全国CPI环比、同比总水平与各地区情况不同.国家统计局还分“城市”和“农村”公布CPI数据.31个省、市、自治区统计局逐月公布当地CPI数据.可以用类似方法解读当地的CPI数据.74PPT学习交流•从数据分析和数学建模角度看,￿资料较少且不够完整,￿只能根据查到的有限数据进行解读.小结与评注•CPI是当今社会的热门词汇,￿各种媒体特别是互联网上有大量经济政策方面的报道和评论.•权重的几种校核与估算方法是编者的初步尝试，尚待进一步研究.75PPT学习交流2.8￿￿2.8￿￿核军备竞赛核军备竞赛• 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全, 实行实行“核威慑战略核威慑战略”, 核军备竞赛不断升级核军备竞赛不断升级.• 随着前苏联的解体和冷战的结束随着前苏联的解体和冷战的结束, 双方通过了双方通过了一系列核裁军协议一系列核裁军协议.• 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张, 而存在暂时的而存在暂时的平衡状态平衡状态.• 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时弹头导弹等措施时, 平衡状态会平衡状态会发生什么变化发生什么变化.• 估计平衡状态下双方拥有的估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器最少的核武器数量数量,这个数量受哪些因素影响这个数量受哪些因素影响.背背景景与与问问题题76PPT学习交流以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：• 认为对方可能发起所谓认为对方可能发起所谓第一次核打击第一次核打击，即倾，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；• 己方在经受第一次核打击后，应保存己方在经受第一次核打击后，应保存足够的足够的核导弹核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击，给对方重要目标以毁灭性的打击.在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定攻击精度和另一方的防御能力决定.模模型型假假设设77PPT学习交流图图的的模模型型y=f(x)~甲有甲有x枚导弹枚导弹,乙所需的最少导弹数乙所需的最少导弹数(乙安全线乙安全线)x=g(y)~乙有乙有y枚导弹枚导弹,甲所需的最少导弹数甲所需的最少导弹数(甲安全线甲安全线)当当 x=0时时 y=y0，，y0~乙方的乙方的威慑值威慑值xyy0Oy0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P~平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线78PPT学习交流分析分析模型模型乙方乙方残存率残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率基地，基地未被摧毁的概率.sx个基地未被摧毁，个基地未被摧毁，y–x个基地未被攻击个基地未被攻击.x> s289PPT学习交流2.10￿￿￿2.10￿￿￿节水洗衣机节水洗衣机        我国淡水资源有限，节约用水人人有责。

洗衣我国淡水资源有限，节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，节约洗衣机用水在家庭用水中占有相当大的份额，节约洗衣机用水十分重要假设放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行十分重要假设放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水过程为：加水—漂洗漂洗—脱水脱水—加水加水—漂洗漂洗—脱水脱水…（称（称“加水加水—漂洗漂洗—脱水脱水”为一轮）请为洗衣为一轮）请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等）机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等），使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少选自1996年全国大学生数学建模竞赛B题90PPT学习交流问题分析洗衣机运行的基本过程•将待洗衣物和洗涤剂放入缸内，加水后启动洗衣机.•漂洗中通过洗涤剂的物理化学作用，将附着在衣物上的污物溶于水中，再脱去含有污物的污水，构成￿“加水—漂洗—脱水”￿一轮运行过程.•一轮后残留在衣物上的污物有所减少，但若尚未达到洗净的效果，就需要再来一轮，如此循环.•直到衣物上污物减少到相对清洁，可以接受.建模应考虑：现实生活中洗衣机大多运行2或3轮.91PPT学习交流￿￿￿￿￿一次性加入的洗涤剂虽能帮助衣物上污物溶于水，但也不希望留在衣物上，因此将“污物”视为衣物上原有的污物与留在衣物上的洗涤剂的总和.￿￿￿￿洗涤剂溶解污物的过程涉及物理化学的微观机制，只需从宏观层面上认为，每一轮运行中污物都已充分溶于水中，形成一定的浓度.￿￿通过一轮一轮地加水和脱水，使污物浓度不断降低.￿￿不讨论通常洗衣机运行的最后一步—甩干或烘干.问题分析洗衣机运行的基本过程92PPT学习交流模型假设￿1.￿每轮漂洗后衣物上的污物全部均匀地溶于水中.2.￿与每轮的加水量相比，每轮脱水后衣物仍含￿￿￿￿少量的水，每轮的含水量为常数.3.￿￿每轮脱水前后污物在水中的浓度保持不变.4.最后一轮脱水后衣物的污物含量与初始含量￿￿￿￿￿￿之比￿(污物比)￿，需不超过某个给定的数值.5.建模目标：在满足衣物污物比的条件下，￿￿￿￿￿￿确定洗衣机运行多少轮￿(最多4轮)￿及每轮￿￿￿￿￿￿的加水量，使总用水量最少.93PPT学习交流模型建立洗衣机共运行n轮(n=2,3,4),￿￿x0~初始污物含量.c~每轮脱水后衣物含水量，ε~最终污物比￿(给定).脱水前后污物浓度保持不变￿污物浓度~单位容积水中的污物含量.uk~第k轮加水量，xk~第k轮脱水后污物含量.……94PPT学习交流建模目标要求￿￿xn/x0≤￿ε在条件￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿下确定洗衣机运行轮数n(=2,3,4)和每轮加水量uk￿(k=1,2,…,￿n)，使总用水量￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿最少.模型建立95PPT学习交流模型简化￿几何平均值算术平均值n个数的几何平均值小于或等于算术平均值，当且仅当n个数相等时等号成立.uk￿全相等，即每轮加水量是一个固定值u.￿c￿<< uk96PPT学习交流模型简化￿uk￿=u￿问题化为在条件￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿下求u和n￿(=2,3,4)￿使￿z= =nu￿最小.简化:￿•u是第1轮加水量，此后各轮加水量应减掉c（脱水后衣物的含水量）.97PPT学习交流模型求解•对于给定的c,ε,￿依次固定n=2,3,4，比较总用水量z的大小，确定u和n的解.•对于固定的c,￿数值ᵰ ᵰn和λn直接反映了每轮加水量和总用水量的大小.98PPT学习交流模型求解ε0.5%1%2%5%10￿%ᵰ ᵰ214.210.07.14.53.2ᵰ ᵰ￿35.84.63.72.72.2ᵰ ᵰ￿43.83.22.72.11.8λ228.320.014.28.96.3λ317.513.911.18.16.5λ415.012.610.68.57.1εᵰελ若衣物清洁程度要求较高(ε≤2%)，洗衣机运行4轮的总用水量最少.清洁程度要求较低时(ε≥5%)，总用水量都差不多，运行3轮更合适.99PPT学习交流模型讨论￿每轮加水量u的上限和下限c~脱水后衣物含水量umin=￿bwa和b取决于衣物的质地，其数值可通过实验确定.缸体容积限制￿￿￿￿￿u的上限umaxw~洗涤前衣物质量(kg)a~每kg衣物脱水后含水量c￿=￿awb~每kg衣物浸泡所需水量浸没衣物需求￿￿￿￿￿￿u的下限uminumin￿≤￿u￿≤￿umaxumin￿≤￿uu￿≤￿umax通过控制w来满足.100PPT学习交流。