2024-2025学年广东省广州大学附属中学高一（下）3月月考数学试卷（含答案）.docx
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2024-2025学年广东省广州大学附属中学高一（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知平面向量a=(1,2)，b=(3,k)，若a⊥b，则k=( )A. −32 B. 6 C. 32 D. −62. 2cos75°cos45°− 2sin75°sin45°=( )A. 22 B. − 62 C. 62 D. − 223.若向量a=(1,2)与b=(t−1,32t)的夹角为锐角，则t的取值范围为( )A. (4,+∞) B. (14,+∞) C. (−∞,14) D. (14,4)∪(4,+∞)4.在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是( )A. x>2 B. x<2 C. 2
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.设z1，z2是复数，则下列说法正确的是( )A. 若z1是纯虚数，则z12<0 B. 若z12+z22=0，则z1=z2=0C. 若z1−=z2，则|z1|=|z2−| D. 若|z1|=|z2|，则名z1⋅z1−=z2⋅z2−10.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为 2,P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是( )A. BG=( 2+1)AHB. AD在AB向量上的投影向量为( 22+1)ABC. 若OA⋅FC=(1+ 2)PA⋅ED，则P为ED的中点D. 若P段BC上，且AP=xAB+yAH，则x+y的取值范围为[1,2+ 2]11.已知函数f(x)=loga(x−1)(a>0,a≠1)，g1(x)=f(|x|)，g2(x)=|f(x)|，g3(x)=|f(|x|)|，下列选项中正确的有( )A. 函数g1(x)，g2(x)，g3(x)是偶函数B. 若g1(x1)=g1(x2)=a且x1 12.在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30°，在一条侧棱上有A，B两点，OA=4，OB=3，以A，B为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，则此绳在A，B之间的最短绳长为______．13.如图，某直径为5 5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，cos∠BAD=−45.则小岛B与小岛D之间的距离为______海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为______平方海里．14.如图，菱形ABCD的边长为6，DE=14DC，CF=34CB，则AE⋅EF的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题12分)设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，求证A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线．16.(本小题12分)已知m∈R，复数z1=(m2+m)+(m2−1)i，z2=2m+i．(1)若z1−z2在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围；(2)设O为坐标原点，z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B(不与O重合)，若OA⋅OB=0，求|z1−z−2|.17.(本小题12分)在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，点E，F在BC边上且BE=λBC，BF=μBC．(1)若λ=13，用AB,AC表示AE，并求线段AE的长；(2)若λ=12，μ=23，求cos∠EAF的值．18.(本小题12分)已知a=(−1,2 3)，b=(sin2x−cos2x,sinxcosx)，函数f(x)=a⋅b．(1)求函数f(x)的解析式及对称中心；(2)若f(π12+α2)=−2 33，且5π6<α<π，求sinα的值．(3)在锐角△ABC中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若b= 3，f(B)=1，求△ABC周长的取值范围．19.(本小题12分)若函数y=f(x)自变量的取值区间为[a,b]时，函数值的取值区间恰为[2b,2a]，就称区间[a,b]为y=f(x)的一个“和谐区间”.已知函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0,+∞)时，g(x)=−x+3．(1)求g(x)的解析式；(2)求函数g(x)在(0,+∞)内的“和谐区间”；(3)若以函数g(x)在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数y=ℎ(x)的图象，是否存在实数m，使集合{(x,y)|y=ℎ(x)}∩{(x,y)|y=x2+m}恰含有2个元素.若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．参考答案1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.ACD 10.ABD 11.CD 12.5 13.3 5 15 14.(−812,0) 15.证明：(1)因为AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a−b)，所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a−b)=2a+8b+3a−3b=5(a+b)=5AB，所以AB，BD共线，又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线；(2)解：因为ka+b和a+kb共线，所以存在实数λ，使ka+b=λ(a+kb)，所以ka+b=λa+kλb，即 (k−λ)a=(kλ−1)b．又a，b是两个不共线的非零向量，所以k−λ=kλ−1=0，所以k2−1=0，所以k=1或k=−1． 16.解：(1)复数z1=(m2+m)+(m2−1)i，z2=2m+i．则z1−z2=(m2−m)+(m2−2)i，由m2−m<0m2−2<0，解得0
