数学物理方程(很好的学习教材).ppt

Part Ⅱ 数学物理方程教材：数学物理方法（梁昆淼教材：数学物理方法（梁昆淼 高教出版社高教出版社 第三版）第三版）参考：数学物理方法学习指导（姚端正参考：数学物理方法学习指导（姚端正 科学出版社）科学出版社）2021/6/161授课内容授课内容n n数学物理定解问题 （Chap.7）n n分离变数（傅里叶级数）法 （Chap.8）n n球函数（Chap.10）n n柱函数（Chap.11）2021/6/162Chap. 7 数学物理定解问题数学物理定解问题n n数学物理方程的导出数学物理方程的导出n n定解条件定解条件n n数学物理方程的分类数学物理方程的分类n n达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题n n本章小结本章小结2021/6/163物理量物理量 u(Y,E,B,P…)空间分布（空间分布（x,y,z））时间演化（时间演化（t））边界条件边界条件初始条件初始条件物理规律物理规律u(x,y,z,t)分析问题分析问题定解问题定解问题（确定系数）（确定系数）定界条件定界条件2021/6/164§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出n n常见的数学物理方程常见的数学物理方程常见的数学物理方程常见的数学物理方程 1. 1. 波动方程波动方程波动方程波动方程 2. 2. 输运方程输运方程输运方程输运方程 3. 3. 稳定场方程稳定场方程稳定场方程稳定场方程n n导出的步骤导出的步骤导出的步骤导出的步骤 1. 1. 确定研究对象（物理量）确定研究对象（物理量）确定研究对象（物理量）确定研究对象（物理量） 2. 2. 分析物理过程，提炼物理模型分析物理过程，提炼物理模型分析物理过程，提炼物理模型分析物理过程，提炼物理模型 3. 3. 建立方程，化简整理，推广建立方程，化简整理，推广建立方程，化简整理，推广建立方程，化简整理，推广2021/6/165波动方程波动方程n n均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动问题问题问题问题：一根长为：一根长为L L的均匀弹弦，的均匀弹弦，不计重力，不受外力。

其张力不计重力，不受外力其张力为为T T，线密度为，线密度为ρ ρ求弦的微小求弦的微小横振动的规律横振动的规律分析分析分析分析：设弦平衡时沿：设弦平衡时沿x x轴，考虑轴，考虑弦上从弦上从x x到到x+dxx+dx的一段，其质的一段，其质量为量为ρdxρdx设弦的横振动位移设弦的横振动位移为为u(x,t)u(x,t)，则，则由牛顿第二定律由牛顿第二定律ρdxutt=T2sinα2- T1sinα10 = T2 cosα2- T1 cosα1微振动条件微振动条件cosα1 = cosα2= 1sinα1 = tanα1 = ux(x,t)sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)于是有于是有T2 =T1=Tρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]化简后得到化简后得到 ρutt = T uxx utt = a2 uxxBCAα1α2uxxdxa2 = T/ρ2021/6/166波动方程波动方程n n推广推广推广推广1 1n n情况：受迫振动（考虑重力或外力）情况：受迫振动（考虑重力或外力）n n分析：设单位长度所受到的横向外力分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)F(x,t)，则，则dxdx段的受力为段的受力为FdxFdxn n方程：方程：ρuρutt tt = T u = T uxxxx+ F+ Fn n u utt tt = a = a2 2 u uxxxx+ f+ f，，f = F/ρf = F/ρ2021/6/167波动方程波动方程n n推广推广推广推广2 2n n情况：均匀杆的纵振动问题情况：均匀杆的纵振动问题n n分析：张力分析：张力T T变成杨氏模量变成杨氏模量Y Yn n方程：方程： ρuρutt tt = Y u = Y uxxxx+ F+ Fn n u utt tt = a = a2 2 u uxxxx+ f+ fn n推广推广推广推广3 3n n情况：三维情况情况：三维情况n n分析：位移分析：位移u u成为空间变量成为空间变量x,y,zx,y,z和时间和时间t t的函数的函数n n方程：方程：2021/6/168问题问题问题问题：扩散问题中研究的是浓度：扩散问题中研究的是浓度u u在空间的分布和在时间中的在空间的分布和在时间中的变化。

变化分析分析分析分析：扩散现象遵循扩散定律，即：扩散现象遵循扩散定律，即q= - Dq= - D▽▽ u u，，q q是扩散流强是扩散流强度，度，D D是扩散系数，是扩散系数，▽▽u u是浓度梯度对于三维扩散问题，是浓度梯度对于三维扩散问题，考察单位时间内小体积元考察单位时间内小体积元dxdydzdxdydz的净流入量的净流入量扩散方程扩散方程zyxdxdydzo2021/6/169扩散方程扩散方程n n在在x x，，y y，，z z方向上，单位时间内净流入量为方向上，单位时间内净流入量为n n如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数2021/6/1610输运方程输运方程n n一维热传导一维热传导一维热传导一维热传导问题问题问题问题：一根长为：一根长为L L的均匀导热细杆，的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源其热传导侧面绝热，内部无热源其热传导系数为系数为k k，比热为，比热为c c，线密度为，线密度为ρ ρ求杆内温度变化的规律。

求杆内温度变化的规律分析分析分析分析：设杆长方向为：设杆长方向为x x轴，考虑杆上轴，考虑杆上从从x x到到x+dxx+dx的一段，其质量为的一段，其质量为ρdxρdx，，热容量为热容量为cρdxcρdx 设杆中的热流沿设杆中的热流沿x x轴正向，强度为轴正向，强度为q(x,t)q(x,t)，温度分布为，温度分布为 u(x,t)u(x,t)，则，则由能量守恒定律 c ρdxρdx du=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ρut = -qx由热传导定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ρut = k uxxut = a2 uxxa2 = k/(cρ)2021/6/1611扩散方程和输运方程扩散方程和输运方程n n扩散和输运方程具有共同的形式：扩散和输运方程具有共同的形式：n n对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程的形式变化为：则方程的形式变化为：源的强度源的强度2021/6/1612稳定场方程稳定场方程n n概念概念n n产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。

定状态，对应的方程称为稳定场方程n n形式：在对应的演化方程中取消时间变量形式：在对应的演化方程中取消时间变量t t，对，对t t的导数为的导数为零n n分类分类n n无外界作用情况无外界作用情况n n拉普拉斯方程：拉普拉斯方程： Δu = uΔu = uxxxx + u + uyyyy + u + uzzzz = 0 = 0n n有外界作用情况有外界作用情况n n泊松方程：泊松方程：Δu = uΔu = uxxxx + u + uyyyy + u + uzzzz = f(x,y,z) = f(x,y,z)n n典型应用典型应用n n静电场方程：静电场方程： Δu = -ρ/εΔu = -ρ/εn n稳定温度分布：稳定温度分布： Δu = - F/kΔu = - F/k2021/6/1613小小 结结n n波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：作业：作业：P152 3,42021/6/1614§7.2 定解条件定解条件n n方程方程 u ut t(t) = 0(t) = 0n n能不能求解？解是什么？能不能求解？解是什么？n n能不能定解？该怎么办？能不能定解？该怎么办？n n方程方程 u uxxxx(x) = 0(x) = 0n n能不能求解？解是什么？能不能求解？解是什么？n n能不能定解？该怎么办？能不能定解？该怎么办？n n由此可归纳出由此可归纳出n n数学物理方程的通解含有任意常数，要完全数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。

确定这些常数需要附加条件一、定解问题的提出一、定解问题的提出2021/6/1615二、初始条件二、初始条件n n意义意义意义意义n n反映系统的特定历史反映系统的特定历史n n分类分类分类分类n n初始状态（位置），用初始状态（位置），用 u |u |t=0t=0 = = φ φ(x,y,x)(x,y,x)表示；表示；n n初始变化（速度），用初始变化（速度），用 u ut t| |t=0t=0 = = ψ ψ(x,y,z)(x,y,z)表示n n典型例子典型例子典型例子典型例子n n一维热传导一维热传导n n未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件n n一端温度为一端温度为a a，均匀增加到另一端温度为，均匀增加到另一端温度为b bn nu |u |t=0t=0 = a+(b-a)x/L = a+(b-a)x/L2021/6/1616初始条件初始条件n n一维弦振动一维弦振动一维弦振动一维弦振动n n未知函数对时间为二阶，需要两个初始条未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件件n n初始位移初始位移初始位移初始位移n n处于平衡位置：处于平衡位置： u| u|t=0t=0 = 0 = 0n n两端固定，在两端固定，在c c点拉开距离点拉开距离h h：： u| u|t=0t=0 = hx/c = hx/c，， 0

齐次边界条件和非齐次边界条件2021/6/1618三类线性边界条件三类线性边界条件定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件2021/6/1619四、常见数学物理方程的定解条件四、常见数学物理方程的定解条件n n波动方程波动方程波动方程波动方程n n输运方程输运方程输运方程输运方程n n稳定场方程稳定场方程稳定场方程稳定场方程2021/6/1620边界条件举例边界条件举例n n典型线性边界条件典型线性边界条件n n一维弦振动一维弦振动一维弦振动一维弦振动n n固定端固定端 u |u |x=0x=0 =0 =0 n n受力端受力端 u ux x| |x=0x=0 = F/ρ = F/ρn n一维杆振动一维杆振动一维杆振动一维杆振动n n固定端固定端 u |u |x=0x=0 = 0 = 0n n自由端自由端 u ux x| |x=0x=0 = 0 = 0n n受力端受力端 u ux x| |x=0x=0 = F/YS = F/YSn n一维热传导一维热传导一维热传导一维热传导n n恒温端恒温端 u |u |x=0x=0 = a = a n n绝热端绝热端 u ux x| |x=0x=0 = 0 = 0n n吸热端吸热端 u ux x| |x=0x=0 = F/k = F/k2021/6/1621注注 意意 事事 项项n n注意区分边界条件与泛定方程中的外力或者外源。

注意区分边界条件与泛定方程中的外力或者外源比如一维扩散问题中，在边界比如一维扩散问题中，在边界x=ax=a上有粒子流注入，上有粒子流注入，此时不能看做是有外源；此时不能看做是有外源；n n注意衔接条件有些问题中存在跃变点，在跃变点注意衔接条件有些问题中存在跃变点，在跃变点处，泛定方程失去意义，需要考虑的问题是跃变点处，泛定方程失去意义，需要考虑的问题是跃变点处的物理量是连续的；处的物理量是连续的；n n注意隐含条件比如泛定方程解得分母中含有自变注意隐含条件比如泛定方程解得分母中含有自变量时，在量时，在x=0x=0处是没有意义的，此时分母中含有自处是没有意义的，此时分母中含有自变量的解前面的系数应该取变量的解前面的系数应该取0 0 ；；n n注意没有边界条件的问题注意没有边界条件的问题2021/6/1622一、科学分类方法一、科学分类方法一、科学分类方法一、科学分类方法n n定义：定义：n n根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同类别不同类别n n作用：作用：n n使大量具体的个体问题系统化和条理化，以便揭示对使大量具体的个体问题系统化和条理化，以便揭示对象间的相互关系，探索内在规律，便于理解和应用。

象间的相互关系，探索内在规律，便于理解和应用n n方法：方法：n n比较是分类的前提和基础，比较是分类的前提和基础，n n分类是比较的深化和结果分类是比较的深化和结果§7.3 数学物理方程的分类数学物理方程的分类2021/6/1623二、数学物理方程的一般分类二、数学物理方程的一般分类n n一般分类一般分类一般分类一般分类n n按自变量的个数，分为按自变量的个数，分为二元二元二元二元和和多元方程多元方程多元方程多元方程；；n n按未知函数及其导数的幂次，分为按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程线性微分方程线性微分方程线性微分方程和和非线性微分方程非线性微分方程非线性微分方程非线性微分方程；；n n按方程中未知函数导数的最高阶数，分为按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶一阶一阶一阶、、二二二二阶阶阶阶和和高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程高阶微分方程n n线性偏微分方程的分类线性偏微分方程的分类线性偏微分方程的分类线性偏微分方程的分类n n按未知函数及其导数的系数是否变化分为按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数常系数常系数常系数和和变系数变系数变系数变系数微分方程；微分方程；n n按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程齐次方程齐次方程和和非齐次方程。

非齐次方程非齐次方程非齐次方程2021/6/1624l 如果aij是自变量的函数，则称为变系数微分方程； 如果aij与自变量无关，则称为常系数微分方程；l 如果k1=k2=k3=1(or 0)，且k1，k2中至少有一个的值为1， 称为线性微分方程；如果k1，k2，k3中至少有一个的值 不等于1和0，则称为非线性微分方程；l 如果f=0，则称为齐次微分方程；如果f≠0，则称为非 齐次微分方程2021/6/16252元二阶线性微分方程的分类元二阶线性微分方程的分类n n一般形式：一般形式：一般形式：一般形式：a ua uxxxx+ b u+ b uxyxy+ c u+ c uyyyy+ d+ d1 1u ux x+ d+ d2 2u uy y + e u = f(x,y)+ e u = f(x,y)n n特征方程：特征方程：特征方程：特征方程：a xa x2 2 + bxy + cy+ bxy + cy2 2 = 0= 0n n判别式判别式判别式判别式  = b= b2 2 －－ 4ac4acn n分类分类分类分类  > 0 > 0 为双曲型，如波动方程；为双曲型，如波动方程；  = 0 = 0 为抛物线型，如热传导为抛物线型，如热传导方程；方程；  < 0 < 0 为椭圆型，如稳定场方为椭圆型，如稳定场方程。

程判断：判断：2021/6/1626推导过程推导过程n n关于自变量关于自变量 x x，，y y的二阶线性偏微分方程（系数都是的二阶线性偏微分方程（系数都是x x，，y y的函数）的函数）作自变量代换2021/6/1627于是，方程化为：2021/6/1628n n取特解取特解ξηξη做新的自变量，使做新的自变量，使A A1111和和A A2222为零，方程可以为零，方程可以简化特解满足的方程为：简化特解满足的方程为：把z(x,y)=常数当做定义隐函数y(x)的方程，则dy/dx = -zx/zy，于是得到二阶线性偏微分方程的特征方程：2021/6/1629三、叠加原理三、叠加原理n n原理原理原理原理：：n n线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程是原来的方程n n如：如：L uL u1 1 = f = f1 1n n L u L u2 2 = f = f2 2n n则：则：L (auL (au1 1+ bu+ bu2 2)= af)= af1 1 + bf+ bf2 2n n应用应用应用应用：：n n齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；n n非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；非齐次方程的解；n n两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。

样组合2021/6/1630§7.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题n n定解问题的求解思路定解问题的求解思路n n原则：由已知猜未知原则：由已知猜未知n n方法：类比法方法：类比法n n步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解n n泛定方程的求解泛定方程的求解n n达朗贝尔公式的推导达朗贝尔公式的推导n n达朗贝尔公式的应用达朗贝尔公式的应用2021/6/1631一、泛定方程的求解一、泛定方程的求解n n常微分方程常微分方程n n方程方程方程方程：：u u’ ’ = 2a x = 2a x n n通解：通解：u = a xu = a x2 2 + C + Cn n偏微分方程偏微分方程n n方程方程方程方程：：u ux x = 2y x = 2y x n n通解：通解：u = y xu = y x2 2 + C(y) + C(y)n n二阶方程二阶方程：uxy = 0n n对对y y偏积分：偏积分： u ux x = C(x) = C(x)n n通解：通解： u = ∫C(x) dx + D(y) = f(x) + g(y) u = ∫C(x) dx + D(y) = f(x) + g(y) 2021/6/1632二、达朗贝尔二、达朗贝尔(D’ Alembert )公式公式n n以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式方程形式：方程形式：定解条件：定解条件：推导步骤：推导步骤：1）由方程求通解2）由初始条件确定通解中的待定系数2021/6/16331）达朗贝尔公式的推导（求通解））达朗贝尔公式的推导（求通解）2021/6/1634通解的物理意义：以速度通解的物理意义：以速度a沿沿x轴正负方向移动的行波。

轴正负方向移动的行波2021/6/1635达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式达朗贝尔公式2021/6/16362）达朗贝尔公式的物理意义）达朗贝尔公式的物理意义n n若初始条件为：若初始条件为：若初始条件为：若初始条件为：初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度a移动这两个行波的和给出各个时刻的波形这两个行波的和给出各个时刻的波形2021/6/16372021/6/1638n n若初始条件为：若初始条件为：若初始条件为：若初始条件为：2021/6/16393）达朗贝尔公式的应用）达朗贝尔公式的应用a) 半无限长弦的自由振动：半无限长弦的自由振动：初始条件只是在x≥0才有意义，在x<0的区域上弦并不存在因此，若时间增加到x-at<0，达朗贝尔公式中φ(x-at)和积分项就失去了意义，公式也不能应用了2021/6/1640方法方法：把半无限长弦当做无限长弦的x≥0的部分无限长弦在振动过程中，点x=0保持不动因此，无限长弦的位移u(x,t)应当是奇函数，初始位移和初始速度也都是必须是奇函数，这样，通过奇“延拓”的方式，把方程和初始条件从半无界区间延拓到整个无界区间现在就可以应用达朗贝尔公式进行求解。

和无界区间的解相比，端点的影响表现为反射波反射波，即存在半波损失半波损失2021/6/1641b) 无限长自由振动无限长自由振动解：将初始条件代入达朗贝尔公式2021/6/16422021/6/1643c) 边界条件举例边界条件举例n n任意给定初始条件 u|u|t=0t=0 = 2 exp(-x = 2 exp(-x2 2), u), ut t| |t=0t=0 = 0 = 0n n附加边界条件1. 1.u|u|x=0x=0 = 0 = 02. 2.u ux x| |x=0x=0 = 0 = 03. 3.u|u|x=0x=0 = u = u0 04. 4.u|u|x=0x=0 = 0, u| = 0, u|x=Lx=L = 0 = 05.5.…………2021/6/1644三、定解问题是一个整体三、定解问题是一个整体 一般情况下，不可能先求偏微分方程的通解，然一般情况下，不可能先求偏微分方程的通解，然后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面四、定解问题的适定性四、定解问题的适定性 1）有解 2）解是唯一的 3）解是稳定的？？2021/6/1645本本章章小小结结波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性 演化方程 稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度泛定方程边界条件初始条件定解问题2021/6/1646n n先求泛定方程的通解的方法只适用于很少数的某些定解问题。

n n是否存在一种基本的解法适用于大量的各种各样的定解问题呢？n n能否把偏微分方程变换成常微分方程，再求解呢？2021/6/1647Chap.8 分离变数法分离变数法n n齐次方程的分离变数法n n非齐次问题的求解n n非齐次边界条件的处理n n泊松方程n n本章小结2021/6/1648§8.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法一、分离变数法介绍一、分离变数法介绍两个固定的端点会引起波的反射，从而在(0,L)之间存在两列反向进行的同频率的波形成驻波波腹波腹波节波节2021/6/1649n n驻波的特点驻波的特点驻波的特点驻波的特点：驻波没有形成波形传播，相邻波节：驻波没有形成波形传播，相邻波节之间各点振动相位相同，表示为之间各点振动相位相同，表示为T(t)T(t)，但是这些点，但是这些点的振幅却随位置的变化而变化，振幅随位置的变的振幅却随位置的变化而变化，振幅随位置的变化可以表示为化可以表示为X(x)X(x)n n于是，驻波的一般表示式具有分离变数的形式：于是，驻波的一般表示式具有分离变数的形式：把驻波的分离变数的形式代入振动方程和边界条件中2021/6/16501 1）））） 定解问题的分离变数定解问题的分离变数定解问题的分离变数定解问题的分离变数n n 未知函数分离：未知函数分离：n 泛定方程分离：n 边界条件分离：n 分离结果：2021/6/16512））分离结果的求解分离结果的求解n 空间方程：空间方程：××√2021/6/1652n 时间方程：时间方程：2021/6/16532021/6/16543）系数的确定）系数的确定n n把方程的一般解代入到初始条件中，把方程的一般解代入到初始条件中，n n上两式的左边是傅里叶正弦级数，把右边的函上两式的左边是傅里叶正弦级数，把右边的函数展开为傅里叶正弦级数，比较两边的系数就数展开为傅里叶正弦级数，比较两边的系数就可以确定可以确定A An n和和B Bn n2021/6/1655分离变量过程小结分离变量过程小结偏微分偏微分方方 程程分离变数｛本征值方程1 — 解1常微分方程2 — 解2｝解1×解2线性 组合所求解所求解初始条件确定系数分离变数法（傅里叶级数法）分离变数法（傅里叶级数法）2021/6/1656n n我们以两端固定的均匀弦的自由振动为例介绍了分离变数法的基本思想和求解过程。

n n用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数在实际的问题中，级数里常常只有前若干项比较重要，后面的项则迅速减小，从而可以略去2021/6/1657二、典型问题的求解（波动方程）二、典型问题的求解（波动方程）n n 例题例题例题例题1 1：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动l 写出定解问题的方程：写出定解问题的方程：l 分离变数：分离变数：2021/6/1658l 求解本征值问题：求解本征值问题：2021/6/1659l 求解时间方程：求解时间方程：2021/6/1660l 代入初始条件，确定系数：代入初始条件，确定系数：2021/6/1661三、典型问题的求解（输运方程）三、典型问题的求解（输运方程）n n例题例题例题例题2 2：研究细杆导热问题初始时刻杆的一端温度为零度，：研究细杆导热问题初始时刻杆的一端温度为零度，：研究细杆导热问题初始时刻杆的一端温度为零度，：研究细杆导热问题初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为另一端温度为另一端温度为另一端温度为u u0 0，杆上温度梯度均匀，零度的一端温度保，杆上温度梯度均匀，零度的一端温度保，杆上温度梯度均匀，零度的一端温度保，杆上温度梯度均匀，零度的一端温度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。

持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化l 分离变量：分离变量：l 分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界l 定解方程：定解方程：2021/6/1662l 方程求解：方程求解：2021/6/16632021/6/1664l 代入初始条件，确定系数：代入初始条件，确定系数：2021/6/16652021/6/16662021/6/16672021/6/1668思思 考考 题题n n如何求解第三类边界条件的波动问题和输运问题？如何求解第三类边界条件的波动问题和输运问题？n n如何用分离变数法求解稳定场问题？如何用分离变数法求解稳定场问题？2021/6/1669四、稳定场问题的分离变数法四、稳定场问题的分离变数法n n拉普拉斯方程拉普拉斯方程n n矩形区域问题矩形区域问题n n圆形区域问题圆形区域问题2021/6/16701 1）拉普拉斯方程（矩形区域））拉普拉斯方程（矩形区域）n例题例题3：：散热片的横截面为矩形，它的一边散热片的横截面为矩形，它的一边y=by=b处于处于较高的温度较高的温度U U，其它三边，其它三边y=0y=0，，x=0x=0和和x=ax=a处于冷却介处于冷却介质中因而保持较低的温度质中因而保持较低的温度u u0 0，求解横截面上的稳定，求解横截面上的稳定温度分布温度分布u(x,y)u(x,y)。

0abyxUu0u0u0l 定解问题定解问题2021/6/1671l l分析分析分析分析：这是二维拉普拉斯方程的第一类边值问题这是二维拉普拉斯方程的第一类边值问题边界条件不可能全部是齐次的，通常的做法是把边界条件不可能全部是齐次的，通常的做法是把一些边界条件化为齐次一些边界条件化为齐次把v和w满足的泛定方程和边界条件分别叠加起来就是u满足的方程和边界条件因此分别求v和w的方程就可以得到未知函数u的解2021/6/1672l l 根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：可以用分离变数法求解，只需要把关于可以用分离变数法求解，只需要把关于y的的边界条件看做是分离变数法中的初始条件边界条件看做是分离变数法中的初始条件的地位2021/6/1673l l分离变数：分离变数：l l求解本征值方程：求解本征值方程：l l求解求解Y Y满足的方程：满足的方程：l l关于关于v v的一般解：的一般解：2021/6/1674l l代入非齐次边界条代入非齐次边界条 件，确定系数件，确定系数l l定解问题的解为：定解问题的解为：2021/6/16752 2）拉普拉斯方程（圆形区域））拉普拉斯方程（圆形区域）n例题例题3：：匀强电场中，有半径为匀强电场中，有半径为a a，电势为零的圆柱，电势为零的圆柱导体，求导体外的稳定的电势分布。

导体，求导体外的稳定的电势分布l 定解问题（极坐标下）定解问题（极坐标下）l 分析：分析：导体外的电势具有轴对称性，做垂直导体 线方向的横截面，则可以在极坐标下研究问题oaφE2021/6/1676l 分离变数：分离变数：l 求解本征值问题：求解本征值问题：l 求解径向方程：求解径向方程：2021/6/1677l 方程的一般解：方程的一般解：l 带入边界条件，带入边界条件， 确定系数：确定系数：2021/6/1678导体带电荷导体带电荷产生的电势产生的电势原匀强电场原匀强电场导体对周围导体对周围电场的影响电场的影响2021/6/1679§8.2 非齐次振动方程和输运方程非齐次振动方程和输运方程一、傅里叶级数法一、傅里叶级数法一、傅里叶级数法一、傅里叶级数法n 分离变数法的结果显示，方程的解可以展开为 傅里叶级数，傅里叶级数的形式决定于边界条件n 对于非齐次振动方程和输运方程，如果边界条件 依然是齐次的，可以先把所求的解展开为傅里叶 级数，级数的形式取决于该问题齐次方程在所给 定的齐次边界条件下的本征函数n 傅里叶级数的系数是时间t的函数。

2021/6/1680典型问题的求解典型问题的求解n n例题例题例题例题1 1：求解定解问题：求解定解问题2021/6/16812021/6/16822021/6/16832021/6/1684二、冲量定理法二、冲量定理法n n对于非齐次泛定方程，如果边界条件和初始条件都是齐次对于非齐次泛定方程，如果边界条件和初始条件都是齐次的，则可以用冲量定理法进行求解的，则可以用冲量定理法进行求解n n如果初始条件是非齐次的，可以转化为齐次后，再运用冲如果初始条件是非齐次的，可以转化为齐次后，再运用冲量定理求解量定理求解2021/6/1685冲量定理法的物理思想冲量定理法的物理思想冲量定理法的物理思想冲量定理法的物理思想n n冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的多前后相继的“ “瞬时瞬时” ”力，把持续作用引起的振动看作力，把持续作用引起的振动看作所有所有“ “瞬时瞬时” ”力引起的振动的叠加力引起的振动的叠加n n“ “瞬时瞬时” ”力引起的振动记为力引起的振动记为u u( (τ τ) )(x,t)(x,t)，其定解问题为：，其定解问题为：(1)2021/6/1686(2)定解问题（定解问题（1）和（）和（2）是等价的。

是等价的2021/6/1687n n从定解问题（从定解问题（2 2）的初始条件可以看出，）的初始条件可以看出，u u( (τ τ) )必含有因子必含有因子d dτ τ，因，因此可以令：此可以令： u u( (τ τ) )(x,t) = v(x,t,(x,t) = v(x,t,τ τ)d)dτ τ，则定解问题变为，，则定解问题变为，n n现在可以用分离变数法或者傅里叶级数法莱求解这个定解问现在可以用分离变数法或者傅里叶级数法莱求解这个定解问题，唯一要注意的问题是，前面讲的两种方法的初始时刻是题，唯一要注意的问题是，前面讲的两种方法的初始时刻是零，这里的初始时刻为零，这里的初始时刻为τ τ，因此前两种方法解中的，因此前两种方法解中的t t，在这里，在这里应该换成应该换成t- t-τ τn n原定解问题的解应该是所有瞬时力引起的振动的叠加，原定解问题的解应该是所有瞬时力引起的振动的叠加，2021/6/1688例题例题例题例题2 2：：：：求解定解问题求解定解问题解：应用冲量定理，先求解2021/6/1689n n参照边界条件，把参照边界条件，把v v展开为傅里叶余弦级数展开为傅里叶余弦级数n n代入泛定方程，分离出代入泛定方程，分离出T Tn n的常微分方程的常微分方程2021/6/1690n nT Tn n的解是的解是n nv v的解为的解为n n系数由初始条件确定系数由初始条件确定2021/6/1691n n比较两边系数，得比较两边系数，得比较两边系数，得比较两边系数，得n nv v的解最终为的解最终为的解最终为的解最终为n n所求的解为所求的解为所求的解为所求的解为2021/6/1692回顾：非齐次方程的求解回顾：非齐次方程的求解n n傅里叶级数法傅里叶级数法傅里叶级数法傅里叶级数法对应齐次方程齐次边对应齐次方程齐次边界条件的本征函数族界条件的本征函数族分离出关于分离出关于T的的方程和初始条件方程和初始条件n n冲量定理法冲量定理法冲量定理法冲量定理法2021/6/1693例题例题例题例题3 3：求解定解问题：求解定解问题：求解定解问题：求解定解问题n 解法解法1：（傅里叶级数法）：（傅里叶级数法）2021/6/1694解关于解关于T的常微分方程，得：的常微分方程，得：最后得到所求的解：最后得到所求的解：2021/6/1695n n解法解法解法解法2 2：（冲量定理法）：（冲量定理法）：（冲量定理法）：（冲量定理法）则原定解问题变为求解则原定解问题变为求解v的定解问题：的定解问题：运用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解，运用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解，最后，得到与解法一相同的结果。

过程略）最后，得到与解法一相同的结果过程略）2021/6/1696§8.3 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理n n运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求解的定解问题只是解的定解问题只是解的定解问题只是解的定解问题只是齐次边界条件问题齐次边界条件问题齐次边界条件问题齐次边界条件问题n n在实际问题中，常常有在实际问题中，常常有在实际问题中，常常有在实际问题中，常常有非齐次边界条件非齐次边界条件非齐次边界条件非齐次边界条件出现，这出现，这出现，这出现，这样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的这几个方法求解呢？这几个方法求解呢？这几个方法求解呢？这几个方法求解呢？n n方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进行求解。

行求解2021/6/1697n n例题例题例题例题1 1：求解定解问题：求解定解问题选取一个函数v(x,t)，使其满足非齐次边界条件，不妨取v(x,t)为x的线性函数，即2021/6/1698l 尽管这个定解问题的泛定方程是非齐次的，但边界条件 是齐次的因此可以利用傅里叶级数法求解l 如果是第二类非齐次边界条件，则v(x,t)的形式可以设为2021/6/1699n n例题例题例题例题2 2：弦的：弦的x=0x=0端固定，端固定，x=lx=l端受迫做谐振动端受迫做谐振动 AsinAsinω ωt t，弦的，弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振初始位移和初始速度都是零，求弦的振动动定解问题为：2021/6/16100由于求解的是弦在由于求解的是弦在x=lx=l端受迫做谐振动端受迫做谐振动AsinAsinω ωt t情况下的振情况下的振动动，，从物理上分析，它一定有一个特解从物理上分析，它一定有一个特解v(x,t)v(x,t)，，满满足足齐齐次方程和非次方程和非齐齐次次边边界条件，且跟界条件，且跟x=lx=l端同步振端同步振动动，即其，即其时间时间部分的函数也部分的函数也是是AsinAsinω ωt t，于是特解可以表示成分离，于是特解可以表示成分离变变数的形式，数的形式，代入到定解问题中去，可分离出关于X(x)的方程和定解条件，求解这个常微分方程的定解问题，最后可以得到特解v为2021/6/16101这个定解问题是齐次方程、齐次边界条件，可用分离变数法求解，其解为：2021/6/16102最后，所求的解为：最后，所求的解为：2021/6/16103回顾拉普拉斯方程的求解回顾拉普拉斯方程的求解n n矩形区域矩形区域矩形区域矩形区域n n圆形区域圆形区域圆形区域圆形区域2021/6/16104§8.4 泊松方程泊松方程n n泊松方程是有外源的稳定场方程，它的形式为：泊松方程是有外源的稳定场方程，它的形式为：n n由于泊松方程与时间无关，显然不能用冲量定理来由于泊松方程与时间无关，显然不能用冲量定理来求解。

求解n n求解的思路是：采用特解法，即先不管边界条件，求解的思路是：采用特解法，即先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解任取泊松方程的一个特解v v，然后令，然后令u=v+wu=v+w，把问，把问题转化为求题转化为求w w，而，而w w满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程2021/6/161052021/6/16106* 在极坐标中运用分离变数法求解拉普拉斯方程在极坐标中运用分离变数法求解拉普拉斯方程 可以得到一般解：可以得到一般解：2021/6/161072021/6/16108这是一个拉普拉斯方程的定解问题，可以利用分离变数法求解2021/6/161092021/6/16110本章小结本章小结n n基本方法基本方法n n齐次问题：分离变量法；齐次问题：分离变量法；n n非齐次问题：特解法非齐次问题：特解法n n常用本征方程常用本征方程n n齐次边界条件齐次边界条件n n第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件n n第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件n n第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件I In n第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件II IIn n自然边界条件自然边界条件n n周期性边界条件周期性边界条件n n有界性边界条件有界性边界条件2021/6/16111常用本征方程常用本征方程 齐次边界条件齐次边界条件2021/6/16112常用本征方程常用本征方程 自然边界条件自然边界条件2021/6/16113Chap. 10 球函数球函数n n 轴对称球函数轴对称球函数n n 连带勒让德函数连带勒让德函数n n 一般的球函数一般的球函数n n 本章小结本章小结2021/6/16114n n球坐标系下的拉普拉斯方程球坐标系下的拉普拉斯方程球坐标系下的拉普拉斯方程球坐标系下的拉普拉斯方程n n球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系2021/6/16115n n球坐标系下拉普拉斯方程的求解球坐标系下拉普拉斯方程的求解球坐标系下拉普拉斯方程的求解球坐标系下拉普拉斯方程的求解球函数方程球函数方程欧拉型常欧拉型常微分方程微分方程2021/6/16116n n球函数方程的求解球函数方程的求解球函数方程的求解球函数方程的求解2021/6/16117§10.1 轴对称球函数轴对称球函数在在在在m=0m=0情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）构成本征值问题，定解称为勒让德多项式构成本征值问题，定解称为勒让德多项式构成本征值问题，定解称为勒让德多项式构成本征值问题，定解称为勒让德多项式2021/6/16118一、勒让德多项式的性质一、勒让德多项式的性质一、勒让德多项式的性质一、勒让德多项式的性质1. 1. 前几项前几项2021/6/161192021/6/161202. 2. 一般表示一般表示n级数表示级数表示n微分表示微分表示n积分表示积分表示罗德里格斯公式罗德里格斯公式施列夫利积分施列夫利积分2021/6/161213. 3. 勒让德多项式的模和正交关系勒让德多项式的模和正交关系勒让德多项式的模和正交关系勒让德多项式的模和正交关系2021/6/161222021/6/161234. 4. 广义傅里叶级数广义傅里叶级数广义傅里叶级数广义傅里叶级数2021/6/161242021/6/161255. 5. 5. 5. 母函数和递推公式母函数和递推公式母函数和递推公式母函数和递推公式n n母函数母函数母函数母函数2021/6/161262021/6/16127n n 递推公式递推公式递推公式递推公式2021/6/16128递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明2021/6/16129递推公式的应用递推公式的应用递推公式的应用递推公式的应用2021/6/16130勒让德多项式模的计算勒让德多项式模的计算勒让德多项式模的计算勒让德多项式模的计算2021/6/161312021/6/16132二、拉普拉斯方程的轴对称定解问题二、拉普拉斯方程的轴对称定解问题2021/6/16133§10.2 连带勒让德函数连带勒让德函数在在在在m≠0m≠0情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程情况下，勒让德方程变为连带勒让德方程这个方程如何求解呢？这个方程如何求解呢？这个方程如何求解呢？这个方程如何求解呢？2021/6/16134代入到连带勒让德方程中，得到关于代入到连带勒让德方程中，得到关于y的微分方程的微分方程这个方程与把勒让德方程逐项求导这个方程与把勒让德方程逐项求导m m次得到的结果一致。

次得到的结果一致因此，它的解就是勒让德方程的解因此，它的解就是勒让德方程的解P(x)P(x)的的m m阶导数，阶导数，2021/6/16135一、连带勒让德函数的性质一、连带勒让德函数的性质一、连带勒让德函数的性质一、连带勒让德函数的性质1. 1. 前几项前几项2021/6/161362021/6/161372. 2. 一般表示一般表示n微分表示微分表示n积分表示积分表示称为罗德里格斯公式，当称为罗德里格斯公式，当l-m=2n时，为偶函数；时，为偶函数；当当l-m=2n+1时，为奇函数时，为奇函数称为施列夫利积分称为施列夫利积分2021/6/161383. 3. 连带勒让德多项式的模和正交关系连带勒让德多项式的模和正交关系连带勒让德多项式的模和正交关系连带勒让德多项式的模和正交关系2021/6/161392021/6/161404. 4. 广义傅里叶级数广义傅里叶级数广义傅里叶级数广义傅里叶级数2021/6/161412021/6/161425. 5. 连带勒让德函数的递推公式连带勒让德函数的递推公式2021/6/16143递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明2021/6/161442021/6/16145二、连带勒让德函数的应用二、连带勒让德函数的应用例题例题4：半径为a的球面上电势分布为 f = Asin2θcosφsinφ， 确定球内空间的电势 u 。

解：解：2021/6/16146§10.3 一般的球函数一般的球函数n n球函数的概念n n球函数的性质n n球函数的归一化n n球函数的应用2021/6/16147一、球函数的概念一、球函数的概念2021/6/16148二、球函数的前几项二、球函数的前几项2021/6/16149三、球函数的性质三、球函数的性质n n对称性对称性对称性对称性n正交性正交性n球面上函数的广义傅里叶级数球面上函数的广义傅里叶级数2021/6/16150四、球函数的归一化四、球函数的归一化n n归一化的球函数归一化的球函数归一化的球函数归一化的球函数n正交性正交性n完备性完备性2021/6/16151五、球函数的应用五、球函数的应用例题例题1：半径为：半径为a的球面上电势分布为的球面上电势分布为 f = Asin2θcos2φ，确定，确定 球内空间的电势球内空间的电势 u 解：解：2021/6/16152非非对对称称稳稳定定问问题题的的求求解解2021/6/16153本本 章章 小小 结结n n一般球面边界稳定问题的半通解为一般球面边界稳定问题的半通解为一般球面边界稳定问题的半通解为一般球面边界稳定问题的半通解为n转动对称球面边界稳定问题的半通解为转动对称球面边界稳定问题的半通解为n轴对称球面边界稳定问题的半通解为轴对称球面边界稳定问题的半通解为2021/6/16154Chap. 11 柱函数柱函数n n柱函数的基本性质n n贝塞尔方程n n虚宗量贝塞尔方程n n球贝塞尔方程n n本章小结2021/6/16155n n柱坐标系下的拉普拉斯方程柱坐标系下的拉普拉斯方程柱坐标系下的拉普拉斯方程柱坐标系下的拉普拉斯方程n n柱坐标系柱坐标系柱坐标系柱坐标系2021/6/16156n n柱坐标系下拉普拉斯方程的求解柱坐标系下拉普拉斯方程的求解柱坐标系下拉普拉斯方程的求解柱坐标系下拉普拉斯方程的求解2021/6/16157n nZ Z、、、、R R常微分方程的求解常微分方程的求解常微分方程的求解常微分方程的求解2021/6/16158于是，我们共得到三类贝塞尔方程：于是，我们共得到三类贝塞尔方程：n n贝塞尔方程贝塞尔方程贝塞尔方程贝塞尔方程n n虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程n n球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程这三类贝塞尔方程的解是什么呢？这三类贝塞尔方程的解是什么呢？2021/6/16159§11.1 三类柱函数三类柱函数 三类柱函数三类柱函数2021/6/16160柱函数的基本性质柱函数的基本性质一、柱函数的图象一、柱函数的图象一、柱函数的图象一、柱函数的图象2021/6/16161诺伊曼函数的图象诺伊曼函数的图象诺伊曼函数的图象诺伊曼函数的图象2021/6/16162二、柱函数的渐近性质二、柱函数的渐近性质二、柱函数的渐近性质二、柱函数的渐近性质x → 0 时的行为：时的行为：x → ∞ 时的行为：时的行为：2021/6/16163三、柱函数的递推公式三、柱函数的递推公式n 基本递推公式：基本递推公式：n 推论二：推论二：n 推论一：推论一：2021/6/16164pp 递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明递推公式的证明k=l+12021/6/16165pp 递推公式的应用递推公式的应用递推公式的应用递推公式的应用例题例题1 1：：贝塞尔函数的积分最终可以化成关于贝塞尔函数的积分最终可以化成关于J0的积分；当的积分；当 n + m 为奇数时，可以为奇数时，可以积分出来。

积分出来2021/6/16166§11.2 贝塞尔方程贝塞尔方程n n贝塞尔函数与本征值问题贝塞尔函数与本征值问题贝塞尔函数与本征值问题贝塞尔函数与本征值问题n n贝塞尔函数的正交性、完备性贝塞尔函数的正交性、完备性贝塞尔函数的正交性、完备性贝塞尔函数的正交性、完备性n n正交性正交性n n模模n n傅里叶－贝塞尔级数傅里叶－贝塞尔级数n n贝塞尔函数应用贝塞尔函数应用贝塞尔函数应用贝塞尔函数应用2021/6/16167一、贝塞尔函数与本征值问题一、贝塞尔函数与本征值问题一、贝塞尔函数与本征值问题一、贝塞尔函数与本征值问题2021/6/161682021/6/16169n 贝塞尔函数的零点贝塞尔函数的零点 正负成对；正负成对；n 贝塞尔函数有无限贝塞尔函数有无限 多个零点；多个零点；n n 阶贝塞尔函数两阶贝塞尔函数两 个相邻零点之间必个相邻零点之间必 有有n+1 阶贝塞尔函阶贝塞尔函 数的一个零点数的一个零点2021/6/161702021/6/16171二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性二、贝塞尔函数的模、正交性和完备性n 贝塞尔函数的模贝塞尔函数的模2021/6/16172n 正交性：不同本征值的同阶贝塞尔函数正交正交性：不同本征值的同阶贝塞尔函数正交n 完备性（傅里叶完备性（傅里叶-贝塞尔级数）贝塞尔级数）2021/6/16173例1： 把函数 f =ρ2 在[0,b] 区间用0阶贝塞尔函数展开。

2021/6/16174三、贝塞尔函数的应用三、贝塞尔函数的应用三、贝塞尔函数的应用三、贝塞尔函数的应用2021/6/161752021/6/161762021/6/16177§11.3 虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程2021/6/161782021/6/16179一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质一、虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的性质1）） 虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的图像虚宗量贝塞尔（汉克尔）函数的图像2021/6/161802）） 虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：2021/6/161812）） 虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：2021/6/161822）） 虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：虚宗量贝塞尔函数的渐进行为：2021/6/16183二、贝塞尔函数的应用二、贝塞尔函数的应用二、贝塞尔函数的应用二、贝塞尔函数的应用2021/6/161842021/6/161852021/6/16186§11.4 球贝塞尔方程球贝塞尔方程2021/6/161872021/6/16188一、球贝塞尔一、球贝塞尔(诺伊曼、汉克尔诺伊曼、汉克尔)函数的性质函数的性质2021/6/161892021/6/16190二、球贝塞尔函数的应用二、球贝塞尔函数的应用2021/6/161912021/6/16192本章小结本章小结n n对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题;n n贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有界或齐次边界条件确定;n n典型的柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们的对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等对于柱面问题的求解有重要作用。

2021/6/16193复习要点复习要点n n熟练掌握三种常见数学物理方程的分离变熟练掌握三种常见数学物理方程的分离变数（傅里叶级数）法；数（傅里叶级数）法；n n掌握勒让德函数、连带勒让德函数的前几掌握勒让德函数、连带勒让德函数的前几项、递推公式、广义傅里叶级数等基本性项、递推公式、广义傅里叶级数等基本性质，并能熟练运用；质，并能熟练运用；n n掌握贝塞尔函数的基本性质，并能够运用掌握贝塞尔函数的基本性质，并能够运用它求解稳定场方程的定解问题它求解稳定场方程的定解问题2021/6/16194n n 例题例题例题例题1 1：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动l 写出定解问题的方程：写出定解问题的方程：l 分离变数：分离变数：2021/6/16195l 求解本征值问题：求解本征值问题：2021/6/16196l 求解时间方程：求解时间方程：2021/6/16197l 代入初始条件，确定系数：代入初始条件，确定系数：2021/6/161982021/6/161992021/6/162002021/6/162012021/6/162022021/6/16203谢谢谢谢2021/6/16204 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！。