2010考研数学一真题与答案.doc

2010年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1) 极限limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=(A)1 (B)e(C)ea-b (D)eb-a【考点】C解析】【方法一】这是一个“1∞”型极限limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=limx→∞{[1+a-bx+ab(x-a)(x+b)](x-a)(x+b)a-bx+ab}a-bx+ab(x-a)(x+b)x=ea-b 【方法二】原式=limx→∞exlnx2(x-a)(x+b)而limx→∞ xlnx2(x-a)(x+b)=limx→∞ xln(1+a-bx+ab(x-a)(x+b)) =limx→∞ x∙a-bx+ab(x-a)(x+b) (等价无穷小代换) =a-b则limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=ea-b【方法三】对于“1∞”型极限可利用基本结论：若lim α(x)=0, lim β(x)=0,且lim αxβx=A则lim1+αxβx=eA,求极限由于limx→∞αxβx=limx→∞x2-(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)∙x =limx→∞(a-b)x2+abx(x-a)(x+b)=a-b则limx→∞[x2(x-a)(x+b)]x=ea-b【方法四】limx→∞x2x-ax+bx=limx→∞x-ax+bx2-x =limx→∞(1-ax)-x∙limx→∞1+bx-x=ea∙e-b=ea-b 综上所述，本题正确答案是C。

考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2) 设函数z=z(x,y)由方程Fyx,zx=0确定，其中F为可微函数，且f2≠0,则x∂z∂x+y∂z∂y= A)x (B)z(C)-x (D)-z【答案】B解析】因为 ∂z∂x=-FxFz=-F1-yx2+F2-zx2F2∙1x=F1∙yx+F2∙zxF2,∂z∂y=-FyFz=-F1∙1xF2∙1x=-F1F2 所以x∂z∂x+y∂z∂y=F1∙y+F2zF2-yF1F2=F2zF2=z综上所述，本题正确答案是(B)考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分(3) 设m,n为正整数，则反常积分01mln2(1-x)nxdx的收敛性(A)仅与m的取值有关 (B)仅与n的取值有关(C)与m,n的取值都有关 (D)与m,n的取值都无关【答案】D解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在x→0+和x→1-时无界01mln2(1-x)nxdx=012mln2(1-x)nxdx+121mln2(1-x)nxdx 在反常积分012mln2(1-x)nxdx中，被积函数只在x→0+时无界。

由于mln2(1-x)nx≥0，limx→0+mln2(1-x)nx1nx=0已知反常积分0121nxdx收敛，则012mln2(1-x)nxdx也收敛在反常积分121mln2(1-x)nxdx中，被积函数只在x→1-时无界，由于mln2(1-x)nx≥0limx→1-mln2(1-x)nx11-x=limx→1-ln2m(1-x)(1-x)12=0 (洛必达法则)且反常积分121dx1-x收敛，所以121mln2(1-x)nxdx收敛综上所述，无论m,n取任何正整数，反常积分01mln2(1-x)nxdx收敛综上所述，本题正确答案是D考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(4) limn→∞i=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=(A)01dx0x1(1+x)(1+y2)dy (B) 01dx0x1(1+x)(1+y)dy(C)01dx011(1+x)(1+y)dy (D)01dx011(1+x)(1+y2)dy【答案】D解析】因为limn→∞i=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=limn→∞i=1n j=1n nn(1+in)n2(1+(jn)2) =limn→∞i=1n j=1n 1(1+in)(1+(jn)2)∙1n2 =01dx011(1+x)(1+y2)dy综上所述，本题正确答案是C。

考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5) 设A为mn矩阵，B为nm矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E,则(A)秩rA=m,秩rB=m (B)秩rA=m,秩rB=n(C)秩rA=n,秩rB=m (D)秩rA=n,秩rB=n【答案】A解析】因为AB=E为m阶单位矩阵，知rAB=m又因 rAB≤min⁡(rA,r(B)),故m≤rA,m≤r(B)另一方面，A为mn矩阵，B为nm矩阵，又有rA≤m,r(B)≤m可得秩rA=m,秩rB=m综上所述，本题正确答案是A考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩(6) 设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0，若A的秩为3，则A相似于(A)1 1 1 0 (B) 1 1 -1 0(C)1 -1 -1 0 (D)-1 -1 -1 0【答案】D解析】由Aα=λα,α≠0知Anα=λnα，那么对于A2+A=0推出来(λ2+λ)α=0⇒λ2+λ=0所以A的特征值只能是0、-1再由A是实对称矩阵必有A~Λ，而Λ是A的特征值，那么由rA=3,可知D正确综上所述，本题正确答案是D。

考点】线性代数—特征值与特征向量—实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(7) 设随机变量X的分布函数Fx=0, x<0,12, 0≤x<1,1-e-x, x>1. ,则PX=1=(A)0 (B)12(C)12-e-1 (D) 1-e-1【答案】C解析】PX=1=F1-F1-0=1-e-1-12=12-e-1综上所述，本题正确答案是C考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质(8) 设f1(x)为标准正太分布的概率密度，f2(x)为[-1,3]上均匀分布得概率密度，若fx=af1x, x≤0,bf2x, x>0,(a>0,b>0)为概率密度，则a,b应满足(A)2a+3b=4 (B)3a+2b=4(C)a+b=1 (D)a+b=2【答案】A解析】根据密度函数的性质1=-∞+∞f(x)dx=-∞0af1xdx+0+∞bf2xdx=a-∞0f1xdx+b0+∞f2xdxf1x为标准正态分布的概率密度，其对称中心在x=0处，故-∞0f1xdx=12f2x为[-1,3]上均匀分布的概率密度函数，即f2x=14， -1≤x≤30，其他0+∞f2xdx=0314dx=34所以1=a∙12+b∙34,可得2a+3b=4综上所述，本题正确答案是A。

考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分9) 设x=e-t,y=0tln⁡(1+u2)du，则d2ydx2t=0= 答案】0解析】【方法一】dydx=y(t)x(t)=ln⁡(1+t2)-e-t=-etln⁡(1+t2)d2ydx2=ddt-etln1+t2∙1xt=e2t[2t1+t2+ln1+t2]则d2ydx2t=0=1∙0+0=0，【方法二】由参数方程求导公式知，d2ydx2t=0=y0x0-x(0)y(0)[x(0)]3xt=-e-t,xt=e-t,x0=-1,x0=1yt=ln1+t2,yt=2t1+t2,y0=0,y0=0代入上式可得 d2ydx2t=0=0方法三】由x=e-t得，t=-lnx，则y=0-lnxln⁡(1+u2)dudydx=-1xln⁡(1+ln2x)d2ydx2=1x2[ln1+ln2x-2lnx1+ln2x]当t=0时x=1，则d2ydx2t=0=0综上所述，本题正确答案是0考点】高等数学—一元函数微分学—基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10) 0π2xcosxdx= 。

答案】-4π解析】令x=t,则x=t2,dx=2tdt0π2xcosxdx=0π2t2costdt=20πt2dsint= =2t2sint0π-40πtsintdt =4tcost0π-40πcostdt=-4π综上所述，本题正确答案是-4π考点】高等数学—一元函数积分学—基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(11) 已知曲线L的方程为y=1-x,x∈-1,1,起点是-1,0,终点是(1,0)，则曲线积分L xydx+x2dy= 答案】0解析】如图所示L=L1+L2,其中L1:y=1+x,(-1≤x<0),L2:y=1-x,(0≤x<1)所以 L xydx+x2dy=L1 xydx+x2dy+L2 xydx+x2dy =-10[x1+x+x2]dx+01[x1+x-x2]dx =-10[2x2+x]dx+01[x-2x2]dx=0综上所述，本题正确答案是0y L1 L2-1 O 1 x【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性质及计算(12) 设Ω={(x,y,z)|x2+y2≤z≤1}，则Ω的形心坐标z= 。

答案】23解析】z=Ω zdxdydzΩ dxdydz=02πdθ01rdrr21zdz02πdθ01rdrr21dz=02πdθ01r(12-r42)drπ2=02π(r24-r612)01dθπ2 =16∙2ππ2=23综上所述，本题正确答案是23考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(13) 设α1=(1,2,-1,0)T,α2=(1,1,0,2)T,α3=(2,1,1,a)T，若由α1,α2,α3生成的向量空间的。