线性代数第四讲课件.ppt

本讲内容与重点本讲内容与重点 重点：重点：行列式按行行列式按行 ( (列列) ) 展开展开 降阶法内容内容为四个为四个“一一”：一个引理，一个定理，：一个引理，一个定理，一个方法，一个推论一个方法，一个推论计算行列式的常用方法之一计算行列式的常用方法之一利用运算利用运算 把行列式化为把行列式化为上上/下三角形行列式下三角形行列式，从，从而算得行列式的值而算得行列式的值注：只使用行 (列) 运算即可将行列式化为上或下三角形行行 列列 式式 之之 性性 质质 性质性质 互换行列式的两行（列），行列式变互换行列式的两行（列），行列式变号性质性质把行列式的某一列（行）的各把行列式的某一列（行）的各 元素乘以同一数然后加到另一列元素乘以同一数然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变行行 列列 式式 之之 性性 质质 例例证明证明块下三角行列式块下三角行列式证明证明计算行列式计算行列式计算行列式的另一条思路计算行列式的另一条思路将将高阶高阶行列式的计算行列式的计算化为化为低阶低阶行列式的计算行列式的计算行列式降阶举例行列式降阶举例行列式降阶举例行列式降阶举例余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,根据块三角行列式性质，即有根据块三角行列式性质，即有又又从而从而再证一般情形再证一般情形,此时此时得得得得中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即证证行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则回顾性质回顾性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和是两数之和. .则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如P-S, Laplace (1749-1827), 法国应用数学家与理论物理学家法国应用数学家与理论物理学家P-S, Laplace (1749-1827), 法国应用数学家与理论物理学家法国应用数学家与理论物理学家P-S, Laplace (1749-1827), P-S, Laplace (1749-1827), ( (法法) ) 数学家数学家、理论物理学家、理论物理学家 “法国的牛顿法国的牛顿”/French Newton，有史以来，有史以来最伟大的科学家之一。

最伟大的科学家之一 数学：拉普拉斯等式，拉普拉斯变换，拉数学：拉普拉斯等式，拉普拉斯变换，拉普拉斯微分算子，等等普拉斯微分算子，等等 统计学理论奠基人，统计学理论奠基人，e.g. 贝叶斯概率贝叶斯概率 名言名言(last words)：我们所知者甚少，所不知者甚广我们所知者甚少，所不知者甚广 What we know is not much. What we do not know is immense. P-S, Laplace (1749-1827), P-S, Laplace (1749-1827), ( (法法) ) 数学家数学家、理论物理学家、理论物理学家 天文学：论证了太阳系的稳定性，提出了天文学：论证了太阳系的稳定性，提出了“星云说星云说”是“黑洞黑洞/black holes”存在理论以存在理论以及及“重力塌陷重力塌陷/gravitational collapse”理论的奠理论的奠基人 小行星以他命名；艾菲尔铁塔上镌刻的小行星以他命名；艾菲尔铁塔上镌刻的72位位法国科学家、工程师之一法国科学家、工程师之一镌刻镌刻着着72位法国科学家、工程师位法国科学家、工程师的艾菲尔铁塔的艾菲尔铁塔例例 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得若按第二列展开，得若按第二列展开，得计算行列式的主要方法计算行列式的主要方法1. 1. 根据行列式的性质（特别是性质根据行列式的性质（特别是性质6），将），将高阶高阶行列式某行（列）行列式某行（列）中的元素，尽可能多地化为中的元素，尽可能多地化为0；2. 2. 然后按照展开定理，将其化为然后按照展开定理，将其化为 低阶低阶行列式的计算。

行列式的计算例例例例 计算行列式计算行列式解解 证证用数学归纳法用数学归纳法例例证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde,1735-96)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式。