反比例函数ppt课件.ppt
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26.1.1反比例函数 函数关系式函数关系式 具有什么共同特征？具有什么共同特征？ 具有具有 的形的形 式，其中式，其中k≠0,k为常数为常数 一般地，形如 （k是常数,且k≠ 0）的函数，叫做反比例函数反比例函数其中x是自变量，y是函数反比例函数中自变量反比例函数中自变量x的取值范围是什么的取值范围是什么? ? n1.68 ×104 s=不等于o的一切实数 等价形式：等价形式：（（k k ≠0≠0））y=kx-1xy=ky y与与x x成反比例成反比例 例例1 1 下列关系式中的下列关系式中的y y是是x x的反比例函数的反比例函数吗？如果是，比例系数吗？如果是，比例系数k k是多少？是多少？可以改写成可以改写成 ，所以，所以y y是是x x的反的反比例函数，比例系数比例函数，比例系数k=1k=1。
不具备不具备 的形式，所以的形式，所以y y不是不是x x的反的反比例函数比例函数y y是是x x的反比例函数，比例系数的反比例函数，比例系数k=4k=4不具备不具备 的形式，所以的形式，所以y y不是不是x x的的反比例函数反比例函数可以改写成可以改写成 所以所以y y是是x x的的反比例函数，比例系数反比例函数，比例系数k=k= y =32xy = 3x-1y = 2xy = 3xy =13xy = x1下列函数中哪些是反比例函数下列函数中哪些是反比例函数?哪些是一次函数哪些是一次函数? 反比例函数反比例函数一次函数一次函数 1. 在下列函数中，在下列函数中，y是是x的的反比例函数的是（反比例函数的是（ ）） （（A）） （（B）） + 7 （（C））xy = 5 （（D））2.已知函数已知函数 是正比例函数是正比例函数,则则 m=___ ；； 已知函数已知函数 是反比例函数是反比例函数,则则 m = ___ 。
y =8X+5y =x3y =x22y = xm -7y = 3xm -7C86 关系式关系式xy+4=0xy+4=0中中y是是x的反比例函数的反比例函数吗?若是，若是，比例系数比例系数k k等于多少？若不是，等于多少？若不是，请说明理由xy+4=0xy+4=0可以改写成可以改写成 比例系数比例系数k k等于－等于－4 4所以所以y y是是x x的反比例函数的反比例函数 例1、已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.(1)写出y与x的函数关系式:(2)求当x=4时y的值.因为当因为当 x=2 时时y=6，所以有，所以有∵ ∵y与与x的函数关系式为的函数关系式为⑵⑵ 把把 x=4 代入代入 得得 待定系数法求待定系数法求函数的解析式函数的解析式(1).(1).写出这个反比例函数的表达式写出这个反比例函数的表达式; ;解解:∵ y:∵ y是是x x的反比例函数的反比例函数,(2).(2).根据函数表达式完成上表根据函数表达式完成上表. .2-41 例2:已知y=y1-2y2,y1与x成反比例,y2与x2成正比例,且当x=-1时,y=-5,当x=1时,y=1,求y与x的函数关系式.及时巩固 将下列各题中y与x的函数关系写出来．(1)y与x成反比例；(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；(3)y与2z成反比例，z与X成正比例； 【课堂练习】1.y是x2成反比例,当x=3时,y=4. (1)写出y与x的函数关系式. (2)求当y=1.5时x的值.2.已知函y=m+n,其中m与x成正比例, n与x成反比例,且当x=1时,y=4; x=2时y=5. (1)求y与x的函数关系式. (2)当x=4时,求y的值. 当当m m＝＝ 时，关于时，关于x x的函数的函数y=(m+1)xy=(m+1)xm m2 2-2-2是反比例函数？是反比例函数？分析分析:｛m m2 2-2=-1-2=-1m+1≠0m+1≠0｛即即 m=±1m=±1m≠-1m≠-11 1 4 .近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是___________。
5.反比例函数 中，当x的值由4增加到6时，y的值减小3，求这个反比例函数的解析式． 6、一水池内有污水20 米3，设放完全池污水的时间为t（分钟），每分钟的放水量为w（米3），规定放水时间在4分钟至8分钟之间，请把t表示为w的函数，并给出w的取值范围 解：由题意知由 x=1 时，y=4 由 x=－1 时，y=0 26.1.2 反比例函数的 图 象 和 性 质 问题：你还记得正比例函数你还记得正比例函数y=kx (k≠0)的图象是什么的图象是什么样子吗样子吗?怎样得出来的怎样得出来的?它的性质又是什么呢？它的性质又是什么呢？正比例函数图象是一条过正比例函数图象是一条过原点原点直线，通过直线，通过描点法描点法得来的反例函数的图象是什么样子？又具有怎样的反例函数的图象是什么样子？又具有怎样的性质呢？性质呢？活动一活动一函数图象性质图象经过一、三象限，y随x的增大而增大k<0图象经过二、四象限，y随x的增大而减小正比例正比例y=kx(k≠0)k>0xyOxyO 活动二活动二 例2 画反比例函数 与 的图象。
分析：所要画的图象是反比例函数的图象，自变量的取值范围是x≠0，怎样取值比较恰当呢？动手画一画动手画一画x………………1、自变量、自变量x需要需要取多少值取多少值?为什么为什么?2、取值时要注意、取值时要注意什么什么?1、在不知道图象的、在不知道图象的走向的情况下，取点走向的情况下，取点越多越能反映图象的越多越能反映图象的实际情况，但一般取实际情况，但一般取8—12个值为宜个值为宜应注意：应注意：1、自变量、自变量x≠0；；2、自变量、自变量x的取值要的取值要对称对称3、自变量、自变量x的取值要的取值要便于计算和描点便于计算和描点123456-1-2-3-4-5-6-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21 1 1.21.523 6 -6 -3 -2-1.5-1.2 -1函数图象画法：描点法函数图象画法：描点法1、列表；、列表；2、描点；、描点；3、连线 描点并连线描点并连线:x…-6-5-4-3-2-1123456……-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21……11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1…12345-1-3-2-4-51234-1-2-3-40-6-556xy 想一想想一想w你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？•列表时，列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值自变量的值可以选取一些互为相反数的值, ,这样既可简化计算这样既可简化计算, ,又便于对称性描点又便于对称性描点; ;•列表描点时列表描点时, ,要尽量多取一些数值要尽量多取一些数值, ,多描一些点多描一些点, ,这样这样既可以方便连线既可以方便连线, ,又较准确地表达函数的变化趋势又较准确地表达函数的变化趋势; ;•连线时，连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接用平滑的曲线连接, ,从中体会函数的增减性从中体会函数的增减性；；•………… 0xy0xy活动二活动二动手画一画动手画一画请模拟例请模拟例2，在平面直角坐标系中画出反比例函，在平面直角坐标系中画出反比例函数数 与与 的函数图像的函数图像。
活动三活动三0xy归纳：在同一坐标系内，反比例函数在同一坐标系内，反比例函数 与与 （（k为为常常数数，，且且k≠0））的的图图象象既既关关于于x轴轴对对称称，，又又关关于于y轴轴对对称称，，具具有有对对称称关关系系的的两两个反比例函数的值互为相反数个反比例函数的值互为相反数 仔细看看教材例仔细看看教材例2这两个函数这两个函数图象在同一坐标系内的位置，想想图象在同一坐标系内的位置，想想它们之间有什么对称关系？它们之间有什么对称关系？ 活动三活动三动手画一画动手画一画 请同学们在你刚才画的图象里，再画出请同学们在你刚才画的图象里，再画出 与与 中的另中的另一个函数的大致图象你一定能做到的，试试看：一个函数的大致图象你一定能做到的，试试看： 0xy 活动三活动三y =x6xy00xy0xy0xyk=6k=3k=-6k=-6k=-3k=-3k＞＞0k＜＜01、每个函数的图象是什么形状，有几支？、每个函数的图象是什么形状，有几支？函数有两条曲线，称为双曲线，有两个分支函数有两条曲线，称为双曲线，有两个分支。
y =x6xy0活动三活动三0xy0xy0xyk=6k=3k=-6k=-6k=-3k=-3k＞＞0k＜＜0 2 2、每个函数的图象所在的象限与、每个函数的图象所在的象限与k k有什么有什么关系？关系？当当k＞＞0时，图象在第一、三象限，时，图象在第一、三象限，当当k＜＜0时，图象在第二、四象限时，图象在第二、四象限 y =x6xy0活动三活动三0xy0xy0xyk=6k=3k=-6k=-6k=-3k=-3k＞＞0k＜＜03、、在每一个象限内在每一个象限内，，y的值随的值随x的值怎样变化？与的值怎样变化？与k有何关系？有何关系？当k＞＞0时，在每一个象限内，时，在每一个象限内，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当当k＜＜0时，在每一个象限内，时，在每一个象限内，y随随x 的增大而增大的增大而增大 y =x6xy0活动三活动三0xy0xy0xyk=6k=3k=-6k=-6k=-3k=-3k＞＞0k＜＜04、它们的图象会与坐标轴相交吗？为什么？、它们的图象会与坐标轴相交吗？为什么？ 反比例函数的图象可无限接近两坐标轴，但永远反比例函数的图象可无限接近两坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
不会与坐标轴相交反比例函数反比例函数是不是由是不是由k决决定其性质呢定其性质呢?( x≠0, y≠0 ) 活动四活动四 函数函数 正比例函数正比例函数 反比例函数反比例函数 解析式图象形状k＞＞0 位置增减性k＜＜0位置增减性y=kx ( k≠0 )直线直线双曲线双曲线一、三象限一、三一、三象限y随x的增大而增大每个象限内每个象限内，y随x的增大而减小每个象限内每个象限内，y随x的增大而增大y随x的增大而减小二、四二、四象限二、四二、四象限1、双曲线越来越接近两坐标轴，但永远不会与坐标双曲线越来越接近两坐标轴，但永远不会与坐标轴相交2、在同一坐标系内，反比例函数、在同一坐标系内，反比例函数 与与 的图象既关于的图象既关于x轴对称，又关于轴对称，又关于y轴对称 活动四活动四 活动四活动四 （（ ））C 活动四活动四3. 已知已知k<0,则函数则函数 y1=kx,y2= 在同一坐标系中的图在同一坐标系中的图象大致是象大致是 ( )xy0 0xy0 0xy0 0xy0 0(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)Dxk 活动四活动四PKPK中考中考yxOA．yxOB．yxOC．yxOD．4、若点、若点 在函数在函数 （（x＜＜0）的图象上，且）的图象上，且 ，则，则它的图象大致是（它的图象大致是（ ）） B 例例3:已知反比例函数的图象经过点已知反比例函数的图象经过点A(2，，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限这个函数的图象分布在哪些象限?y随随x的增大如何的增大如何变化变化?(2)点点B(3，，4)、、C( ）和）和D（（2，，5）是否在）是否在这个函数的图象上？这个函数的图象上？解解：（１）设这个反比例函数为 ，：（１）设这个反比例函数为 ，解得：解得： ｋ＝１２ｋ＝１２∴∴这个反比例函数的表达式为这个反比例函数的表达式为∵∵ｋ＞０ｋ＞０∴∴这个函数的图象在第一、第三象限，这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小。
在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小∵∵图象过点图象过点A（（2，，6）） （２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入 ，可知点Ｂ、（２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入 ，可知点Ｂ、点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式，点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式，所以点Ｂ、点Ｃ在函数 的图象上，点Ｄ不在这个所以点Ｂ、点Ｃ在函数 的图象上，点Ｄ不在这个函数的图象上函数的图象上例例3:已知反比例函数的图象经过点已知反比例函数的图象经过点A(2，，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限这个函数的图象分布在哪些象限?y随随x的增大如何的增大如何变化变化?(2)点点B(3，，4)、、C( ）和）和D（（2，，5）是否在）是否在这个函数的图象上？这个函数的图象上？ 1、反比例函数、反比例函数 的图象经过（的图象经过（2，，-1），则），则k的值为的值为 ；；2、反比例函数、反比例函数 的图象经过点（的图象经过点（2，，5），若点（），若点（1，，n）在反比例函数图）在反比例函数图象上，则象上，则n等于（等于（ ））A、、10 B、、5 C、、2 D、、-6-1A 3、下列各点在此曲线、下列各点在此曲线 上的是（上的是（ ））A、（、（ ，， ）） B、（、（ ，， ））C、（、（ ，， ）） D、（、（ ，， ））B 例例4：如图是反比例函数：如图是反比例函数 的图象一支，的图象一支，根据图象回答下列问题根据图象回答下列问题 ：：（（1）图象的另一支在哪个象限？常数）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值的取值范围是什么？范围是什么？（（2）在这个函数图象的某一支上任取点）在这个函数图象的某一支上任取点A（（a，，b）和）和b（（a′，，b′），如果），如果a>a′，那，那 么么b和和b′有怎有怎样的大小关系？样的大小关系？解解：（１）反比例函数图象的分布只有两种：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。
这个函数的图象的一支在第二、第四象限这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限第一象限，则另一支必在第三象限∵∵函数的图象在第一、第三象限函数的图象在第一、第三象限∴∴ ｍ－５＞０ ｍ－５＞０解得解得 ｍ＞５ ｍ＞５ （２）（２）∵∵ｍ－５＞０，在这个函数图象ｍ－５＞０，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，∴∴当ａ＞ａ当ａ＞ａ′时ｂ时ｂ＜ｂ＜ｂ′例例4：如图是反比例函数：如图是反比例函数 的图象一支，的图象一支，根据图象回答下列问题根据图象回答下列问题 ：：（（1）图象的另一支在哪个象限？常数）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值的取值范围是什么？范围是什么？（（2）在这个函数图象的某一支上任取点）在这个函数图象的某一支上任取点A（（a，，b）和）和b（（a′，，b′），如果），如果a>a′，那，那 么么b和和b′有怎有怎样的大小关系？样的大小关系？ 1、在反比例函数、在反比例函数 的图象上有三的图象上有三点（点（x1，，y1）、（）、（x2，，y2）、（）、（x3，，y3），），若若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是（，则下列各式中正确的是（ ））A、、y3>y1>y2 B、、y3>y2>y1C、、y1>y2>y3 D、、y1>y3>y2A PDoyx2.2.如图如图, ,点点P P是反比例函数是反比例函数 图象上图象上的一点的一点,PD⊥x,PD⊥x轴于轴于D.D.则则△△PODPOD的面积为的面积为 . .(m,n)1S△△POD = OD·PD = = 思考：思考：3、反比例函数、反比例函数 上一点上一点P（（x0，，y0），），过点过点P作作PA⊥ ⊥y轴，轴，PB⊥ ⊥X轴，垂足分别为轴，垂足分别为A、、B，则四边形，则四边形AOBP的面积为的面积为 ；；且且S△△AOP S△△BOP 。
4.4.如图如图, ,点点P P是反比例函数图象上的一是反比例函数图象上的一点点, ,过点过点P P分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线, ,若阴若阴影部分面积为影部分面积为3,3,则这个反比例函数的则这个反比例函数的关系式是关系式是 . .xyoMNp A.S1>S2 B.S1
的取值范围 本节收获1、进一步巩固复习了作函数图象的一般方法和步骤2、亲手画出函数的图象，用类比的方法，数形结合的思想，有了对图形进行观察、分析和归纳的体验，掌握了反比例函数的图象和性质当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内y值随x值的增大而减小当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个象限内y值随x值的增大而增大3、反比例函数 （k为常数，k≠0)的图象是双曲线 学了就用m<23、下列反比例函数图像的一个分支、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是在第三象限的是( )二、四二、四B 1、已知反比例函数、已知反比例函数 的函数图象位于第一、三象限，的函数图象位于第一、三象限，则则m的取值范围是的取值范围是 4、函数、函数 的图象在第的图象在第 象限2、、 下列函数中，其图象位于第二、四象限的有下列函数中，其图象位于第二、四象限的有 , 在其图象所在的象限内，在其图象所在的象限内，y随随x的减小而增大的有的减小而增大的有 。
1),(4)(2),(3) 练一练练一练2 2已知反比例函数已知反比例函数 (1)若函数的图象位于第一三象限，若函数的图象位于第一三象限， 则则k_____________;(2)若在每一象限内，若在每一象限内，y随随x增大而增大，增大而增大， 则则k_____________.< 4> 4 4.4.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1与与y y2 2的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .y1＞y2 4.4.已知点已知点A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2) )都在反比例函数都在反比例函数 的图象上的图象上, ,则则y y1 1与与y y2 2的大小关系的大小关系( (从大到小从大到小) )为为 . .(k(k＜＜0)0)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )且且x x1 1＜＜0 0＜＜x x2 2yxox1x2Ay1y2By1 ＞0＞y2 练一练练一练4 4若点（若点（-2，，y1）、（）、（-1，，y2）、（）、（2，，y3）在）在反比例函数反比例函数 的图象上，则（的图象上，则（ ））A、、y1>y2>y3 B、、y2>y1>y3C、、y3>y1>y2 D、、y3>y2>y1B 考察函数考察函数 的图象的图象, ,当当x=-2x=-2时时,y=,y= ___ ___ , ,当当x<-2x<-2时时,y,y的取值范围是的取值范围是 _____ _____ ; ;当当y﹥-1y﹥-1时时,x,x的取值范围是的取值范围是 _________ _________ . .练一练练一练7 7-1-1
图象上的面积☞ P(m,n)AoyxP/ 图象上的面积☞ 小试牛刀☞（1）如图1，反比例函数图像上一点A与坐标轴围成的矩形ABOC的面积是8 ，则该反比例函数的解析式为 .图1xyOCBA 小试牛刀☞（2）如图2，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则( )．A．S1
直击中考☞. 。
