高一数学--对数函数综合练习题(答案).doc

对数的运算性质1．例题分析：例1．用，，表示下列各式： （2）．（1）； （2）．解：（1）；例2．求下列各式的值：（1）； （2） ．解：（1）原式==；（2）原式=例3．计算：（1）lg1421g； （2）； （3）．解：（1）解法一：；解法二：=；说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视2）；（3）=．例4．已知，，求的值分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式解： ．说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系例5．已知，求．分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为对数形式解：（法一）由对数定义可知：．（法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：，∴ ．（法三），∴，∴ ．说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解1．对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ¹ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）；（2）；（3）．证明：（性质1）设，， （性质3）设，由对数的定义可得 ，∴，∴，即证得． 由对数的定义可得 ，，∴，∴，即证得．练习：证明性质2．说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如 ；（3）注意定义域： 是不成立的， 是不成立的；（4）当心记忆错误：，试举反例， ，试举反例。

例6．（1）已知，用a表示；（2）已知，，用、表示 ．解：（1）∵，∴， ∴ log 3 4 - log 3 6 = ．（2）∵， ∴， 又∵，∴=．换底公式1．换底公式： ( a > 0 , a ¹ 1 ；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，从而得： ， ∴ ．说明：两个较为常用的推论：（1） ； （2） （、且均不为1）．证明：（1） ；（2） ．2．例题分析：例1．计算：（1） ； （2）． 解：（1）原式 = ； （2） 原式 = ．例2．已知，，求（用 a, b 表示）．解：∵， ∴， ∴，又∵， ∴， ∴．例3．设 ，求证：．证明：∵，∴ ， ∴ ．例4．若，，求．解：∵， ∴， 又∵ ，∴ ， ∴ ∴ ．例5．计算：．解：原式 ．例6．若 ，求．解：由题意可得：， ∴，∴．对数函数例1．求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）．分析：此题主要利用对数函数的定义域求解解：（1）由>0得，∴函数的定义域是；（2）由得，∴函数的定义域是；（3）由9-得-3，∴函数的定义域是．说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。

例2．求函数和函数的反函数解：（1） ∴ ； （2） ∴ ．例4．比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），.解：（1）对数函数在上是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数，于是；（3）当时，对数函数在上是增函数，于是， 当时，对数函数在上是减函数，于是．例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1），； （2），； （3），，； （4），，．解：（1）∵， ，∴； （2）∵， ，∴． （3）∵， ， ，∴． （4）∵， ∴．例6．已知，比较，的大小解：∵， ∴，当，时，得，∴， ∴．当，时，得，∴， ∴．当，时，得，，∴，， ∴．综上所述，，的大小关系为或或．例7．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（且）．解：（1）令，则， ∵， ∴，即函数值域为． （2）令，则， ∴， 即函数值域为． （3）令， 当时，， 即值域为， 当时，， 即值域为．例8．判断函数的奇偶性解：∵恒成立，故的定义域为， ，所以，为奇函数。

例9．求函数的单调区间解：令在上递增，在上递减，又∵， ∴或，故在上递增，在上递减， 又∵为减函数，所以，函数在上递增，在上递减说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围解：令， ∵函数为减函数，∴在区间上递减，且满足，∴，解得，所以，的取值范围为．对数函数1 如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为(    )．　　（A）  　　（B）            　　（C） 　　（D） 2.函数y=logx－1(3－x)的定义域是 如果对数有意义，求x的取值范围；解：要使原函数有意义，则解之得： ∴原函数的定义域为-7，-6)(-6，-5) (-1，+)函数的定义域为一切实数，求k的取值范围利用图像判断方程根的个数3．已知关于的的方程，讨论的值来确定方程根的个数解：因为在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图可知：①当时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；②当时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；③当时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。

4．若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围．解：由原方程可化为，变形整理有（*），，由于方程（*）的根为正根，则解之得，从而5．求函数的单调区间．．解：设，，由得，知定义域为又，则当时，是减函数；当时，是增函数，而在上是减函数的单调增区间为，单调减区间为题目2】求函数的单调区间正解】由得x＜1或x＞5，即函数的定义域为{x| x＜1或x＞5}，当x＜1时，是减函数，是减函数，所以是增函数；当x＞5时，是增函数，是减函数，所以是减函数；所以的增区间是（-∞，1）；减区间是（5，∞，）6、设函数 ，若 的值域为 ，求实数 的取值范围．　　分析：由值域为 和对数函数的单调性可将问题转化为 能取遍所有正实数的问题．　　解： 令 ，依题意 应取遍一切正实数即函数值域是正实数集的子集．则有 或 ，解得 ．已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］.(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.解：(1)(a2－1)x2+(a+1)x+1＞0对x∈R恒成立.a2－1=0时，a=±1，经检验a=－1时恒成立；a2－1≠0时， a＜－1或a＞ ，∴a≤－1或a＞ .(2)a2－1=0，即a=1时满足值域为R；a2－1≠0时， 1＜a≤ .∴1≤a≤ .7的定义域为R，求a的取值范围。

正解】①当a=0时，y=0，满足条件，即函数y=0的定义域为R；②当a≠0时，由题意得：；由①②得a的取值范围为[0，4）评注】参数问题，分类要不重不漏，对于不等式不一定是一元二次不等式8.函数y=log［(1－x)(x+3)］的递减区间是( )A.(－3,－1) B.(－∞,－1) C.(－∞,－3) D.(－1，＋∞)【解析】设t＝(1－x)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4由(1－x)(x＋3)＞0得－3＜x＜1当x∈(－3，－1)时，t＝(1－x)(x＋3)递增∴y＝log［(1－x)(x＋3)］的递减区间是(－3，－1)9.已知函数y＝loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是( )A.0＜a＜1 B.a＞1 C.1＜a＜2 D.1＜a≤2【解析】若0＜a＜1，则函数在定义域上是增函数；若a＞1，则当0≤x≤1时，2－ax＞0恒成立即x＜，因此＞1∴1＜a＜210.求函数y=loga(2-ax-a2x)的值域解】由于2-ax-a2x>0，得-2

又当a>1时，y=logat递增，∴yloga2故当a>1时，所求的值域为（-∞，loga2）；当0

∴1

18、已知 ， 求函数的最大值和最小值 、19：已知的减函数，则的取值范围是（ ） A．（0，1）。