薛定谔与波动方程的统计解释.doc

1第十六章第十六章 薛定谔与波动方程的统计解释薛定谔与波动方程的统计解释基本要求基本要求1、了解波函数及其统计解释了解一维定态的薛定谔方程2、了解如何用驻波观点说明能量量子化了解角动量量子化及空间量子化了解施特恩-----格拉赫实验及微观粒子的自旋3、了解描述原子中运动状态的四个量子数了解炮利不相容原理和原子的电子壳层结构§16§16－－1 1 波函数波函数一．波函数1．自由粒子的波函数平面简谐波的波动方程)xt(cosAy2指数形式： )xt(iAey2由此方程知：频率，波长，沿正方向传播x设想：动量一定的自由粒子，沿正向传播，有波动性, 则：x，hEPh若；)t , x()t , x( y0A则：)PxEt(i e)t , x(h0式中，：自由粒子的波函数)t , x(：波函数的振幅0三维运动： )rPEt(i e)t , r(vvhv022． 波函数的物理意义波函数的统计解释：波函数模的平方与粒子在 t 时刻处出现的概率密度2),(trrr),(trw成正比),(trw2),(tr物质波(德布罗意波)概率波3．概率密度（几率密度）某点处单位体积元内粒子出现的概率；，dVdW2dxdydzdV 2dVdW4．波函数的性质（标准条件）①单值性：某时某处概率唯一；②有限性：；1W③连续性：W 的分布是连续的。

波函数的归一化条件：12 VdV5．德布罗意波与经典波的区别①微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播；德布罗意波，有归一化条件，与同经典波的CIC' I2§16-2§16-2 薛定谔方程薛定谔方程一、薛定谔方程 1． 自由粒子的薛定谔方程方向运动：x)PxEt(i eh0方向运动：rv)rPEt(i evvh03① 对求二级偏导，得：z , y, x（1）22 2 hP② 对 求一级偏导，得：t（2） mPEti22 h将（1）式代入得：自由粒子的含时薛定谔方程timhh2222．非自由粒子的薛定谔方程一般形式的含时薛定谔方程tiUmhh2223．定态薛定谔方程设：`)t ( f)z , y, x()t , z , y, x(定态波函数：hiEt e)z , y, x()t , z , y, x(定态势场中运动粒子的薛定谔方程EUm222h例：求一维势井中粒子的能量、波函数及概率密度一维势井：)ax ,x()ax({U000解之得：)x(U0xa4①本征能量：2 228nmahEn(零点能)081221mahE,n②本征波函数：)0(ax ③概率密度：)(sin2)()(22 axn axxn)0(ax 讨论：1. 对无限深势井来说，粒子只能在 U＝0 的区域内运动，称为束缚态，所得到的定态方程的解，只能取一些驻波的形式2. 粒子在势井内各处出现的概率密度随量子数改变3. 相邻两能级间的距离:)n(mahE12822 *§§16-3 势垒势垒 隧道效应隧道效应微观粒子的能量小于势垒高度时，可以穿过势垒到达另一侧的现象。

§§16-4 一维谐振子一维谐振子 一维谐振子能量量子化： hnEn)21(      , 3 , 2 , 1 , 0n零点能：hE21 0§§16-5 氢原子氢原子 §16-5-1§16-5-1 玻尔的氢原子模型玻尔的氢原子模型nE0xa)x(n 0xa)(x0xaxan axnsin2)(5一．玻尔理论的实验基础1． 原子的有核模型原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；2． 氢原子光谱的实验规律① 综合经验公式：  ,m,mn, )nm(R~21112217100967761m.R，赖曼系；，巴尔末系；，帕邢系；，布喇格系；1m2m3m4m，普芳德系；5m② 里兹并合原理)n(T)m(T~式中：称为光谱项)n(T),m(T氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定二． 经典电磁理论遇到的困难卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出：1． 光谱连续2． 原子不可能是稳定的系统；与事实不符！三． 玻尔理论1． 基本思想：① 承认卢瑟福的原子天文模型② 放弃一些经典的电磁辐射理论③ 把量子的概念用于原子系统中2． 玻尔的三条假设① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态）② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件L ,,,n,nhhnL3212 ③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐6射的频率满足mnEEh3． 讨论：①轨道量子化,稳定轨道半径公式LL ,,,n,mZenhrn321222 0对氢原子，Z＝1LL ,,,n,menhrn321222 0nm.r,n0529011)nm(n.rnrn2 1205290②能量量子化－能级（原子系统的总能量公式）L ,,,n,nhmeEn3211 8222 04 eV.E,n61311eVn. nEEn221613能级：量子化的能量状态（数值）能 态nE/eV基 态1－13.6第一激发态2－3.4第二激发态3－1.51 MMM电离状态∞0③氢原子光谱hEEmn7④当 n 很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同02 112 21 n)n(n EEE EEnnnnnn四． 玻尔理论的局限性1． 成功之处①能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱；②定态能级假设；③能级间跃迁的频率条件。

2． 局限性① 以经典理论为依据，推出电子有运动轨道、确定的空间坐标和速度② 人为引进量子条件，限制电子运动③ 不能自洽对稍微复杂些的系统，如氦和碱土金属的光谱（谱线的强度、宽度、偏振）等均无法解释§16-5-2§16-5-2 氢原子的量子力学理论氢原子的量子力学理论氢原子氢原子求解薛定谔方程得到：主量子数决定能量 E  3 , 2 , 1n角量子数，决定角动量 L) 1( ,3 , 2 , 1 , 0nl磁量子数，决定角动量的空间量子化lml  ,, 3, 2, 1, 0类氢离子的能级：，其中原子序数 Z=1 时，得氢原子能级evnZEn226 .13玻尔频率假设：knEEh氢原子光谱： k=1,2,3,4,5 hcEE nkRkn)11(1~ 22  ,, 2, 1 kkn角动量：h) 1( llL角动量在任一方向的分量：hlzmL 8原子内电子的运动不能用轨道描述，只能用波函数给出的概率密度描述§§16-6 电子自旋电子自旋电子自旋：由电子自身属性决定的固有运动 施特恩-----格拉赫实验：只能用电子自旋角动量的空间取向量子化来解释，是 直接证实电子自旋存在的最早实验之一。

自旋角动量：hh23) 1(ssS自旋角动量在任一方向的分量： 自旋磁量子数 , hszmS 21sm§§16-7 多电子原子多电子原子原子中的电子的状态用四个量子数决定slmmln,,,(1) 主量子数，决定电子能级的主要部分一般情况下，n 越大，电  3 , 2 , 1n子的能量越高2）角量子数，决定电子角动量 L，还轻微影响电子能量) 1( ,3 , 2 , 1 , 0nl一般情况下，n 相同的电子中， 越大，电子的能量越高l（3）磁量子数，决定电子角动量的空间取向lml  ,, 3, 2, 1, 0（4）自旋磁量子数 ，决定电子自旋角动量的空间取向21sm炮利不相容原理：一个原子系统中，不可能有两个或两个以上的电子处于相同的状态即它们不可能具有完全相同的四个量子数（） slmmln,,,原子的壳层结构：主壳层由 n 相同的状态组成，最多可容纳个电子，包括22nn 个支壳层支壳层由 相同（n 一定）的状态组成，最多可容纳l个电子) 12(2l电子组态：     26223221spss本章小结本章小结 1、波函数波函数：全面描述微观粒子波粒二象性的波函数),(tr波函数的统计解释：波函数模的平方与粒子在 t 时刻处出现的概率密度2),(trrr9),(trw成正比。

),(trw2),(tr波函数的标准条件：单值、连续、有限波函数的归一化条件：1),(2 dVtr2、薛定谔方程tiUmhh222定态波函数：Eti ertfrtrh)()()(),(一维定态薛定谔方程：EUdxd m2222h*3、隧道效应 微观粒子的能量小于势垒高度时，可以穿过势垒到达另一侧的现象 *4、一维谐振子能量量子化： hnEn)21(      , 3 , 2 , 1 , 0n零点能：hE2105、氢原子 求解薛定谔方程得到：主量子数决定能量 E  3 , 2 , 1n角量子数，决定角动量 L) 1( ,3 , 2 , 1 , 0nl磁量子数，决定角动量的空间量子化lml  ,, 3, 2, 1, 0类氢离子的能级：，其中原子序数 Z=1 时，得氢原子能级evnZEn226 .13玻尔频率假设：knEEh氢原子光谱： k=1,2,3,4,5 hcEE nkRkn)11(1~ 22  ,, 2, 1 kkn角动量：h) 1( llL角动量在任一方向的分量：hlzmL 10原子内电子的运动不能用轨道描述，只能用波函数给出的概率密度描述。

6、电子自旋 电子自旋：由电子自身属性决定的固有运动 施特恩-----格拉赫实验：只能用电子自旋角动量的空间取向量子化来解释，是直接证实电 子自旋存在的最早实验之一自旋角动量：hh23) 1(ssS自旋角动量在任一方向的分量： 自旋磁量子数 , hszmS 21sm7、多电子原子原子中的电子的状态用四个量子数决定slmmln,,,(2) 主量子数，决定电子能级的主要部分一般情况下，n 越大，电子的能量  3 , 2 , 1n越高2）角量子数，决定电子角动量 L，还轻微影响电子能量一般情况) 1( ,3 , 2 , 1 , 0nl下，n 相同的电子中， 越大，电子的能量越高l（3）磁量子数，决定电子角动量的空间取向lml  ,, 3, 2, 1, 0（4）自旋磁量子数 ，决定电子自旋角动量的空间取向21sm炮利不相容原理：一个原子系统中，不可能有两个或两个以上的电子处于相同的状态即它们不可能具有完全相同的四个量子数（） slmmln,,,原子的壳层结构：主壳层由 n 相同的状态组成，最多可容纳个电子，包括 n 个支壳层22n支壳层由 相同（n 一定）的状态组成，最多可容纳个电子。

l) 12(2l电子组态：     26223221spss。