高二数学二项式系数的性质.ppt

10.4 二 项 式 定 理二项式系数的性质121 1 11 11 1 111 1332446 5510 10复习回顾:二项式定理及展开式:nn nrrnr nn nn nn nnbaCbaCbaCbaCbaCba022211100++++++=+---LL）（二项式系数通 项…………13(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二项式系数的性质二项式系数表111211331146411510 10511615 20 1561《详解九章算法》记载的表杨辉 三角杨辉以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章 算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角在《详解九章算法 》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 ，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公 元11世纪）已经用过它这表明我国发现这个表不晚于11世纪在欧洲 ，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把 这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年 左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

a).表中每行两端都是1b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和4+6=102+1=3例如：cr ncr-1 n+crn+1=当n不大时，可用该表来求二项式系数C2 3C2 2C1 2+== 3 C2 5C2 4C1 4+== 10因为：二项式系数的性质111211331146411510105116152015612134610第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-111211331146411510 10511615 20 1561二项式系数的性质二项式系数的性质先增后减对称函数定义：如果A、B都是非空数集，那A 到B的映射f ：A→B就叫做A到B的函数可看成是集合｛0，1，…，n｝ 到二项式系数的集合的映射★ 对于二项式系数，r与 之间也有对应关 系，即： r 0 1 2 … r … n…二项式系数与函数…从映射、函数的观点看，二项式系数可 以看作是一个定义域为 {0，1，2，…， n}的函数当自变量从小到大依次取值时对 应的一列函数值 即：r是自变量，r自变量二项式系数是函数值， 组合数公式就是相应函数的解析式123二项项式函数值二项式系数与函数①当n=6时，二项式系数 （0≤r≤6）用图象表示：7个孤立的点13……n…12322nOrf ( r )6361420 ①与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等1：对称性2：增减性与最大值①先增后减②关于r= 3对称②r=3时取得最大值f（r） n为奇数； 如n=7f（r）rnO6152013n为偶数； 如n=620103035O n743①关于r=n/2对称②r=3和r=4时取得最大值二项式系数的性质二项式系数的性质与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质1：对称性性质2：增减性与最大值先增后减 u当n是偶数时，中间的一项 的二项式系数 取得 最大值 ； u当n是奇数时，中间的两项 二项式系数 和 相等，且 同时取得最大值。

即即和当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得 最大值由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)……(n-k+1) k • (k-1)  =Ck-1n•kn – k + 1 Ck-1nkn – k + 1Ckn所以相对于的增减情况由决定由于kn – k + 11kn + 1 2 因而2.增减性与最大值性质3：各二项式系数的和二项式系数的性质2n+ + + …+令x=1；赋值法令x=-1；0++0 nCC2n…-++1 nC…3 nC)(()0 = ++0 nCC2n…++1 nC…3 nC = 也就是说, (1+x)n的展开式中的各个 二项式系数的和为 ，且奇数项的二 项式系数和等于偶数的二项式系数和2n1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同 的项是( ).C课堂练习 :A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项C A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( ).4，化简 + + + +=3， 已知 展开式中只有第10项二项式系数最大，则n=______。

18例1、证明 的展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和ban)( +证明：1a10-CCn+rnan1-bban++++=bCCnnrnr nn……ban)( +在展开式中 1+=1n)( -Cnnn)(-10 nC1 nCC2n3 nC--+…+b = -1，令a = 1，则得++0 nCC2n…-++1 nC…3 nC)(()0 = ++0 nCC2n…++1 nC…3 nC = 就是即在ban)( +的展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项系数的和上述证明过程中用到了什么方法？赋值法例题讲解变式练习： +…7210)(+++=-72721xaxaxaax已知 则=+++6420aaaa71a=+++2aa…7=+++531aaaa简解:令x=1,则则令x= -1,7a++5a6a102++aaa+=++3a4a(=)-721•1-17a=a1a0+a2+-+5a3a6a4a---)+(721•1 =371…2… 1由 得71a=+++2aa…-212-)(2由 得12+)(2由 得-2 -1094 10937=+++531aaaa-1094=+++6420aaaa1093( x=0 时,a0=1 )123……n…123求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。

通常选取赋值时取－1，1，0小结:（2） 数学思想：函数思想 a 图象、图表；b 单调性； c 最值3） 数学方法 ： 赋值法 （1）二项式系数的三个性质对称性增减性与最大值各二项式系数和； 苏州物流公司 uyd42vau 呢！老大伯您请进！”乔氏母女和耿老爹、耿英、耿直听到声音，也从东、西两边屋里出来了看到众人都明显发愣，船老大赶快说 ：“兄弟媳妇，耿兄弟，大家都好啊！”乔氏有点儿结巴地说：“好，都好！老大哥，你，你怎么？快，快进屋里坐吧！”耿老爹也 说：“是啊，大哥你忙呢，怎么自己过来了？”船老大说：“哦，我想过来看看！不用进屋里坐啦，我看看这五间新屋，咱们就走 ”说着话，大家一起来到新屋前船老大先看在屋子外面观看一番，然后又走进屋子里在各间转了一圈，连声说：“不错啊，不错啊 ！这就要完工了，剩下来的也就是亮家和刷白了呢！”乔氏感激地说：“这封顶压瓦以后的所有活计，都是耿大哥做的，娃娃们也帮 了不少忙丫头她爹就那样冷不丁走了，要不是耿大哥和他的这三个懂事的娃娃，我们娘儿俩真不知道该怎么迈过那道难过的坎儿啊 ！”耿老爹赶快说：“兄弟媳妇可不要这样说！你们一家人对我们有大恩情呢，我们才帮了多大的一点点事情啊，根本就不值得一提 的。

船老大慢慢地摇着头说：“哦，不不不，我已经看出来了，耿兄弟你绝对不是一般意义上的好人，我白兄弟有你这样的好大哥 帮他照应婆姨和丫头，他会放心的！”耿老爹还想说什么：“老大哥，你别”船老大马上举手制止，说：“其他话咱们后面再说吧！ 我想啊，咱们今儿个早点儿过去你们看，这天气多好哇咱们祭奠完白兄弟以后，让娃娃们在江边上好好儿地玩一玩儿，咱们也晒 晒太阳，说说话！我走之前已经安排好了，中午就在码头上吃顿便饭得了娃娃们什么时候玩儿够了，再送你们回来乔氏说：“ 不瞒你说老大哥，娃娃们这阵子也确实不容易的，是应该好好儿地玩一玩儿了！好吧，那就听你的安排，我们大家都散散心小青她 爹这也百日了，我们还得继续活下去啊！”又转头对耿老爹说：“耿大哥，就这样吧，今儿个我们都散散心去就像直伢子劝我和丫 头的那话，‘幺爹看到娘娘和小青姐姐伤心，他会很难过的’；那反过来说，如果他看到我们高兴，他也就放心了你说是不是这个 理儿？”耿老爹赶快点点头，连声说：“是这个理儿，是这个理儿！”船老大看大家都同意了，高兴地说：“那咱们现在就走！”小 青和耿正兄妹仨听到大人们如此安排，自然都很高兴他们赶快去西边屋里拿上祭品，“踢哩嗒啦”跑到门外上车去了。

耿老爹也陪 着船老大走出门来乔氏最后出来，拉上门来上了锁，见船老大和耿老爹都还没有上车，就说：“你们怎么都不上车啊？”俩人都说 ：“你先上！”乔氏上车后，船老大和耿老爹又相互推让着：“你先上，你先上！”最后，船老大硬是把耿老爹先让到车上，自己才 最后一个上了车车夫扬鞭轻轻吆喝一声，马车轻轻快。