三角恒等变换（十一大题型）（讲义）（原卷版）-2025高考数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）.pdf

第 02讲三角恒等变换目录01考情透视目标导航.202知识导图思维引航.303考点突破题型探究.4知识点1：两角和与差的正余弦与正切.4知识点2:二倍角公式.4知识点3:降 次（幕）公式.5知识点4:半角公式.5知识点4：辅助角公式.5解题方法总结.5题型一：两角和与差公式的证明.7题型二：两角和与差的三角函数公式.9题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形.10题型四：利用角的拆分求值.11题型五：给角求值.11题型六：给值求值.12题型七：给值求角.13题型八：正切恒等式及求非特殊角.14题型九：三角恒等变换的综合应用.14题型十：辅助角公式的高级应用.16题型十一：积化和差、和差化积公式.1604 真题练习命题洞见.1705课本典例高考素材.1806易错分析答题模板.19易错点：不会应用辅助角公式.19答题模板：三角关系式的化简求值.191 /20考点要求考题统计考情分析（1）基本公式（2）三角恒等变换求值（3）辅助角公式2024年 I 卷 第 4 题，5 分2024年 II卷 第 13题，5 分2024年甲卷第8 题，5 分2023年 II卷 第 7 题，5 分2023年 I 卷 II卷 第 8 题，5 分2022年 II卷 第 6 题，5 分2021年甲卷第U 题，5 分三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用.这就需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用.复习目标：（1）会推导两角差的余弦公式（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换2/202 皿SM图里 维 己 肮三角恒等变换两角和与差的正余弦与正切二倍角公式降 次（黑）公式半角公式加(aP尸(1)sin(a p)=sin a cos p cos as/?p；(2)cos(a p)=cosacosp 干s加 as 加 p；tanatanpltanatanp,(T)sin2a=2sinacosa；cos2a=cos2a-sin1(i.=2cos2(i-l=l-2sin2(J L；3,2a=2/”a；1-tairasniacos(i=sinla.,1-cos2asnra=-;2l+coslacosa=辅助角公式a2asin42 1+cosa sinal-cosa1+COS(1577/a21-cosaasin a+bcosa Ja+bsin(a.+巾)(其中si。

b cos(|)=r I,tan6=).”+/r a3/20考 占 室 硒 题 刊 摩 宓 知识固本知识点1:两角和与差的正余弦与正切 sin（z 0）=sin a cos/3 cos a sin/?；cos（cr =cos a cos yff+sin cr sin 13；tan（a 0 =里 吧 加 目;1 +tan a tan 0【诊断自测】tan 11+tan 19tan 11 tanl9-1知识点2：二倍角公式 sin 2a=2 sin a cos a；cos2a=cos2 a-sin?a=2cos2 a-=1 -2sin2 a；tan 2a=2 tan a1-tan2 a【诊断自测】已知sin(2一=贝h 05(+2&的 值 为()A.2425B.2425C.25D.254/20知识点3：降 次（靠）公式1 .c.2 l-cos 2a 2 1+cos 2asm o co sa=sm 2a;sm a -;cos a -2 2 2【诊断自测】已知函数/(x)=2sinxcosx+273cos2x-V3.(1)求/(x)的最小正周期和单调区间；若=求的值.知识点4：半角公式a sin a 1-cos ortan =-=-.2 1+cos or sin。

n【诊断自测】(2024 高 三 河 北-期 末)已 知 tan7=22sin 0 sin 01 -cos 0 1+cos 0则的值为知识点4：辅助角公式asina+b cos a=yla2+b2 sin(a+(p)(其中 sin 9=.,cos(p=.,tan(p=yla2+b2 yja1+b2 a【诊断自测】当 时，/(x)=2sinx+cosx取最小值，求sina的值_.解题方法总结1、两角和与差正切公式变形tan a tan/3=tan（a 夕）（1 +tan a tan/）；5/20tan a-tan fl=1-tan a+tan,tan a tan-=-1.tan(a+f3)tan(a-2、降累公式与升幕公式si.n 2 a=-l-c-o-s-2-a；cos 2 a=-1-+-c-o-s-2-a-22；sinacosa sin2a；21 +cos2a=2cos2 a ；1 -cos2a=2sin2 a；l+sin2tz=(sina+costz)2；1 一 sin2sina-cosa)23、其他常用变式sin 2a=2 sin a cos a2tanasin2 a+cos2 a 1+tan2 a；cos 2a=cos2 a-sin2 a 1-tan2 asin2 a+cos2 a 1 +tan2 aa；tan二2sina 1 -cos6Z1+cosof sinaa i4、拆分角问题：a=2 ；a=0 -0 -a),a =,(a +尸)+(。

一);P=g(a+)(a 夕)；(+二=一(?a).注意：特殊的角也看成已知角，如 5、和化积公式sina+sinp=2 sina+B a-B-c o s.-22sina-sinp=2 cosa +/?.ex.B-s in.-22cosa+cosp=2 cosa +/3 ci B-cos-cosa-cosp=-2 sincc B.cc B-s in.-22226、积化和公式sina-cosp=sin(cr+/?)+sin(a-0 cosa-cosp=;cos(a+/?)+c o s(a-p)sincvsinp=gcos(a-,)一cos(a+/)题型洞察6/20题型一：两角和与差公式的证明【典 例 1-1】阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(7+/?)=sinccos夕+costzsin，s in(a-)=sinacos-cosasin，由+得 sin(a+?)+sin(a-?)=2sintzcos尸.A令 tz+/o =4j,a-Bo=n B ,贝rn!r|a=-A-+-B-,Bn=-A-.-B-,代小入、得A r A+B A-BSHL4+sia8=2sin-cos-2 2 2 2(1)利用上述结论，试求sinl5o+sin75。

的值；J R A-R(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos-cosS=-2s i ns i n.【典例1-2 如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点1,0),当大2后%+(左 e Z)时，以x 轴非负半轴为始边作角a,尸，它们的终边分别与单位圆相交于点4(cosa,sina),2(cos,sin0.(1)叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；(2)利用两角差的余弦公式与诱导公式.证明：sin(a-/7)=sin cos-cos a sin/7.(附：平面上任意两点4(项,乂)，(%,%)间的距离公式P岛=f y+(%-乂)【方法技巧】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.【变 式 1-1 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点尸(cosa,sine),7/20Q(cos 尸,sin/7).（1）请分别利用向量而与质的数量积的定义式和坐标式，证明：cos（a -）=cos a cos/?+sin a sin.（2）已 知（1）中的公式对任意的a,月都成立（不用证），请用该公式计算cosl50的值，并证明：sin（a +/3）=sin a cos 3+cos a sin/?.【变 式 1-2 在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：cos（a -）=cos a cos 夕 +sin a sin .具体过程如下：如图，在平面直角坐标系X 0 内作单位圆0,以Ox为始边作角它们的终边与单位(1)(2)则 OA=（cos a,sin a）,OB=（cos 尸,sin 尸），由向量数量积的坐标表不，有 0A-OB=cos a cos 夕 +sin a sin 0 .设），砺的夹角为6,则。

/OB=|04MOB|cos9=cos9=cosacos，+sin a sin/7,另一方面，由 图（1）可知，a=2kji+/3+0；由 图（2）可知戊=2左+，一干是a B=2k?i土e,k s Z .所以 cos（a-尸）=cos6,也有 cos（a-7?）=cosacos/?+sinasin/?；所以，对于任意角 d 夕有：cos（tz-/7）=cos a cos/?+sin a sin（3.此公式给出了任意角a,尸的正弦、余弦值与其差角a-6 的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C”子.有了公式Ca_,以后，我们只要知道cosa,cos/,sina,sin用的值，就可以求得cos（a-/）的值了.8/20阅读以上材料，利 用 图（3）单位圆及相关数据（图中”是N8的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：（3）判 断 反=苏 两 是 否 正 确？（不需要证明）(2)证明：s i n a +s i n =2 s i n c o s巴 2 2题型二：两角和与差的三角函数公式【典例2-1】(2 0 2 4 黑龙江哈尔滨模拟预测)已知s i n a s i n a+/J=c o s a s i n-aJ,贝l j t a n 1 2 a +；()A.2-V 3 B.2-6 C.2 +V 3 D.-2 +7 3【典例 2-2】(2 0 2 4 浙 江 三 模)若s i n(a-/7)+c o s(a-/?)=2 s i n6 Z-71 近 夕，贝I（）A.t a n(-y 0)=-lC.t a n(+/?)=-!B.t a n(c r-y 0)=lD.t a n(a +)=l【方法技巧】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用。

的三角函数表示土尸的三角函数,9/2 0在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.【变式2-1 （多选题）下列选项中，值为的 是（）A.2 c o s21 5 B.s i n 2 7oc o s 3 +c o s 2 7os i n 3 C.2 s i n 1 5 s i n 7 5 t a n 2 2.5 l-t a n22 2.5 j r【变式2-2 1（多选题）已知0a5，且1 1 191 1月是方程2 1-1 0工+1 =0的两根，下列选项中正确的 是（）A.t a n(a +)=(4C.t a n (a _ 0)=-s i n(c r+/7)6 c o s(6 z-/7)1 1二 71D.+2/7 题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形【典例3-1】（2 0 2 4 高三陕西商洛期中）已 知 万 满 足（l +t a n a）（l-t a n ）=2 ,贝1 一=【典例 3-2】计算：t a n 7 3 0 -t a n 1 93 0 -6 t a n 7 3 t a n 1 3 =【方法技巧】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增。