三角形辅助线的添加方法和经典习题和答案.doc

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如:例1 已知如图1-1 : D E ABC内两点,求证:AB+ AC> BD^ DE^ CE.证明：(法一)将DE两边延长分别交 AB AC于M N,在厶 AIMING, AMF AN > MD+ DE^ NE; (1)在厶 BDM中, M聊 MD> BD ( 2)在厶 CEN中, CN^ NE> CE; ( 3)由(1) + ( 2) + ( 3)得：AM + AN+ MB^ MD^ Ch+ NE> MD^ DE+ NE+ BD+ CE••• AB+ AC> BD+ DE+ EC（法二：）如图1-2 , 延长BD交AC于F,延长 CE交BF于G,在厶ABF和厶GFC^D^ GDE中有：AB + AF> BD + D® GF （三角形两边之和大于第三边） （1）GF + FC> GE^ CE(同上) ( 2)DG + GE> DE(同上) ( 3)由(1) + ( 2) + ( 3)得：AB + AF+ GF+ FC+ D申 GE> BD+ DG^ GF+ GH CE+ DE• - AB+ AC> BD+ DE+ EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理:例如：如图 2-1 :已知 DABC内的任一点，求证：/ BDOZ BAC直接的联系，可位置，Z BAC处外角，分析:因为/ BDC与/ BAC不在同一个三角形中， 没有 适当添加辅助线构造新的三角形，使/ BDC处于在外角的于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E，这时/ BDC是△ EDCF•••/ BDOZ DEC 同理/ DEOZ BAC BDOZ BAC证法二：连接 AD,并延长交BC于 F•••/ BDF>^ ABD的外角•••/ BDF>Z BAD 同理，/ CDF>Z CAD•••/ BDF^Z CDF>Z BAD^Z CAD即：/ BDOZ BAC注意：利用三角形外角定理证明不等关系时， 通常将大角放在某三角形的外角位置上， 小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如:例如：如图 3-1 :已知 ABC的中线，且Z 1 = Z 2, Z 3=Z 4,求证：BE+ CF> EF分析：要证 BE+ CF> EF ,可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE, CF, EF移到同一个三角形D等的线段，利形中中，而由已知Z 1 = Z 2,Z 3 =Z 4,可在角的两边截取相 用三角形全等对应边相等，把 EN FN, EF移到同一个三角证明：在DA上截取 DN= DB连接NE, NF,贝U DN= DC 在厶 DBE和△ DNE中:DN DB（辅助线的作法）T 1 2（已知）ED ED（公共边）•••△ DBE^A DNE （SAS• BE= NE （全等三角形对应边相等） 同理可得：CF= NF在△ EFN中EN+ FN> EF （三角形两边之和大于第三边） • BE+ CF> EF注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全 等三角形的性质得到对应元素相等四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形证明：延长ED至M 使DM=DE连接例如：如图 4-1 : ABC的中线，且Z 1 = Z 2,Z 3=Z 4,求证：BE+ CF> EFCM MF,A BDE和△ CDM中,BD CD （中点的定义）••• 1 CDM （对顶角相等）ED MD（辅助线的作法）••• △ BDE^A CDM （SAS又••• Z 1 = Z 2,Z 3=Z 4 （已知）Z 1 + Z 2+Z 3+Z 4= 180°（平角的定义）• Z 3 +Z 2=90°即：/ EDU 90°••• / FDMkZ EDF = 90°在厶〔。

卩和厶MD冲ED MD（辅助线的作法）EDF FDM （已证） DF DF （公共边）• △ EDF^A MDF （ SAS• EF= MF （全等三角形对应边相等）•••在厶CM冲，CF+ CW MF （三角形两边之和大于第三边）• BE+ CF> EF注：上题也可加倍 FD,证法同上注意当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题 中分散的条件集中五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形例如：如图 5-1 : AD为 △ ABC的中线，求证： AB+ AC>2ADb分析：要证 AB+ AC> 2AD,由图想至U： AB + BD> AD,AC+ CD> AD 所以有 AB+ AO BD + CD> AD+AD= 2AD左边比要证结论多 BD+ CD故不能直接证出此题，而由 2AD想到要构造2AD即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去• BD= CD （中线定义）在厶ACD^n^ EBD中证明：延长AD至E,使DE=AD••• ABC的 中线 （已知）BD CD （已证）ADC EDB（对顶角相等）AD ED（辅助线的作法） E• △ ACD^A EBD （ SAS• BE= CA （全等三角形对应边相等）•••在△ ABE中有：AB+ BE> AE （三角形两边之和大于第三边） 图5 1• AB+ AC> 2AC。

常延长中线加倍，构造全等三角形） —练习：已知△ ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形, 如图5-2 , 求证EF= 2AD六、截长补短法作辅助线例如：已知如图 6-1 :在△ ABC中，AB> AC, / 1 = Z 2, P为AD上任一点求证：AB- AC> PB- PG分析:要证:AB- AC> PB- PC,想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 AB- AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB- AC= BN,再连接PN,贝U PC= PIN 又在△ PNB中 , PB- PN< BN,即: AB- AC> PB- PCo证明：（截长法）在AB上截取 AN= AC连接PN , 在厶APN和厶APC中AN AC（辅助线的作法）T 1 2（已知）AP AP（公共边）•••△ APN^A APC （ SAS••• PC= PN （全等三角形对应边相等）•••在△ BPN中，有PB — PN< BN （三角形两边之差小于第三边）• BP- PC< AB- AC证明：（补短法） 延长AC至M使AM= AB,连接PM,在厶 ABP和△ AMP中AB AM （辅助线的作法）T 1 2（已知）AP AP（公共边）• △ ABP^A AMP （ SAS• PB= PM （全等三角形对应边相等）又•••在△ PCM中有：CM> PM- PC（三角形两边之差小于第三边 ）• AB- AC> PB— PG七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1 :已知 AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B,求证：AD- BC分析:【证 AD= BC,先证分别含有 AD BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△ BCD △ AODM^BOC △ ABD与厶BAC但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：分别延长 DA CB它们的延长交于 E点,•/ AD丄AC BC丄BD （已知）•••/ CAE=Z DBE = 90° （垂直的定义）在厶DBE与△ CAE中E E （公共角）DBE CAE （已 证）BD AC（已知）•••△ DBEm CAE （AAS）• ED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等）• ED- EA= EC— EB即: A» BC（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决例如：如图 8-1 : AB// CD AD// BC 求证：AB=CD分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决证明：连接AC （或BD）•/AB// CD AD// BC （已知）1 = Z 2，/ 3 =Z 4 （两直线平行，内错角相等）在厶 ABC与△ CDA中1 2（已证）T AC CA（公共边）3 4（已证）• △ ABC^A CDA （ASA• AB= CD （全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长BD要例如：如图 9-1 :在 Rt △ ABC中，AB= AC / BAC= 90°,/ 1 = Z 2, CE! BD的延长于 E。

求证:=2CE分析 要证BD= 2CE,想到要构造线段 2CE同时CE与/ ABC的平分线垂直，想到将其延长证明：分别延长 BA CE交于点F•/ BE丄CF （已知）• / BEF=/ BEC= 90° （垂直的定义）在厶BEF与厶BEC中，1 2（已知）BE BE（公共边）BEF BEC（已证）•••△ BEF^A BEC （ASA1• CE=FEd CF （全等三角形对应边相等）2•••/ BAC=90 BE 丄 CF （已知）•••/ BAC=Z CAF= 90° / 1 + Z BDA= 90°/ 1 + Z BFC= 90°•••/ BDA=/ BFC在厶ABD与△ ACF中BAC CAF （已证）BDA BFC（已证）AB = AC （已知）• △ ABD^A ACF （AAS• BD= CF （全等三角形对应边相等）• BD= 2CE十、连接已知点，构造全等三角形例如：已知：如图 10-1 ; AC BD相交于 O点，且 AB= DC AC= BD,求证：/ A=/ Db分析：要证/ A=/ D,可证它们所在的三角形厶 ABO^DA DCO全等，而只有AB= DC和对顶角两个条件， 个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由 AB= DC AC= BD,若连接BC则厶ABC和证明：连接 BC,在厶ABC^DA DCB中图10 1△ DCB全等，所以，证得/ A=/ DoAB DC（已知）AC DB （已知 ）BC CB（公共边）• △ ABC^A DCB （SSS）•/ A=/ D （全等三角形对应边相等）卜一、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图 11-1 : AB= DC / A=/ D 求证：/ ABC=/ DCB分析：由AB= DC / A=/ D,想到如取 AD的中点N,连接NB NC再由SAS公理有△ ABN^A DCN故BN= CN / ABN=/ DCN下面只需证/ NBC=/ NCB再取BC的中点 M 连接MN则由SSS公理有△ NBM◎ △ N。