热传导方程的混合问题.ppt

《偏微分方程教程》第五章 抛物型方程 1§2 热传导方程的混合问题热传导方程的混合问题【知识点提示知识点提示】 半直线上的热传导方程，有限区间上的热传导方程，热的反射，分离变量法重、难点提示重、难点提示】 求解齐次和非齐次热传导方程的混合问题教学目的教学目的】 熟练地掌握热的反射求解半直线上的热传导方程，分离变量法求解有限区间上的热传导方程 .2 2.1 2.1 半直线上的热传导方程与热的反射半直线上的热传导方程与热的反射 (2.1)考虑侧表面绝热的均匀细杆,当细杆的一端固定, 初始温度与细杆在固定端点的温度, 则杆上的温度分布 并已知满足如下混合问题 为了更清楚讨论热的反射,我们仅考虑 即考虑混合问题 的情形,(2.2)3引理引理5.35.3 对Cauchy问题(1.1),(1.2),若初始数据 是关于某点 的奇函数,即 ,则Cauchy问题(1.1),(1.2)的解对任意的时间 在点 处有 证证 不失一般性,可设 此时 .由Poisson公式(1.11),有 由于被积函数关于 是奇函数,故上式中的积分为零,即 为了应用Poisson公式(1.11)解混合问题(2.2),根据引理5.3我们把初始数据作奇延拓 (2.3) 这时Cauchy问题(1.1), (2.3)的解可由Poisson公式(1.11)表示为 4(2.4) 由引理5.3,我们立即获得混合问题(2.2)的解为 用类似的方法，我们能考虑如下第二边值问题 (2.5) 与引理5.3相对应,我们有如下结果. 5引理引理5.45.4 对Cauchy问题(1.1),(1.2),若初始数据 的偶函数,即 则Cauchy问题(1.1),(1.2)的解对任意的时间 在点 处有 证明类似于引理5.3,从略. 现在我们偶延拓(2.5)中的 (2.6) 这时Cauchy问题(1.1),(2.6)的解可由Poisson公式(1.11)表示为 6由引理5.4,我们获得混合问题(2.5)的解为 (2.7) 注注1 1 对于问题(2.1),首先我们令 ,则(2.1)化为 (2.8) 由叠加原理,(2.8)的求解可分解为如下两个问题的求解： (I) (II) 问题(I)的求解在前面已经讨论.问题(II)的求解可借用问题(2.2)的求解及齐次化原理获得.7 注注2 2 如果我们令 ,那么我们也可以讨论如下第二边值问题：(2.9) 82.2 2.2 有限区间上的热传导方程与分离变量法有限区间上的热传导方程与分离变量法 我们将用分离变量法在矩形 上,求一个函数 使它满足热传导方程 及初始条件 (2.11) 和边界条件 (2.12) 这里假定函数 和 都是连续的,且满足相容性条件： 如同讨论波动方程的情形一样,这里泛定方程和定解条件都是线性的,所以混合问题 (2.10)-(2.12)可由以下定解问题 9(I) (II) 和 (III) 叠加而成.因此,如果函数 , 和 分别是定解问题 (I),(II)和（III） 的解, 则原定解问题的解就可写成 对于定解问题(I)我们可用分离变量法求解,假定解的形式为 10代入(I)中的方程,得 于是有 (2.13) (2.14) 先考虑方程(2.14),由(I)中的边界条件推知, 应满足边界条件 (2.15) 如同第四章§4所述,只有 ,特征值问题(2.14),(2.15)才有非平凡解,此时特征值 取值为 (2.16) 与其相对应的特征函数为 再将(2.16)代入方程(2.13),得 11它的解是 (2.18) 于是,所有函数 都是满足问题（I）中的方程及边界条件的非平凡解,其中 为任意常数. 为了求出问题(I)的解,考虑级数 (2.19) 我们希望它满足初始条件 这时只要 可在 上展成以 (2.20) 为系数的正弦Fourier级数即可.现在将(2.20)代入(2.19), 我们就 12得到混合问题(I)的形式解为(2.21) 下面我们证明由(2.21)定义的函数 确实是问题(I)的解.定理定理5.35.3 设 ,且 ,则由级数(2.21)定义的函数 就是混合问题(I)的解. 证证 先证明形式解(2.21)满足方程.由于 ,从而有界, 于是存在正常数 使得 ,故对任意的 ,当 时有 而数项级数 收敛,因此,级数(2.21)在 且绝对收敛,所以函数 内内闭一致收敛在 内是连续的. 对 逐项微分级数(2.21),得级数 (2.22) 13而对 逐项微分级数(2.21)两次所得级数是 (2.23) 由于当 时,有 其中 或1 .由于数项级数 收敛,所以级数(2.22)和(2.23)在区域 内闭一致收敛且绝对收敛. 从而级数(2.21) 是逐项可微的.由(2.22)和(2.23)立即得到 其次证明由(2.21)所确定的函数 满足定解条件.关于初始条件, 在定理的假设下 是一致且绝对收敛的.根据阿贝尔(Abel)判别法, 这个级数的项 与单调下降且一致有界的序列 的项的乘积所构成的级数对 是一致收敛的.所以级数(2.21)在区域 上是一致收敛的. 14于是函数 在区域 上连续,即满足初始条件 关于边界条件,由于函数 在 上连续,故函数 在 和 处都是连续的.因而对所有的 ,都有 定理证毕. 对于定解问题(II),如同波动方程的情形一样,也可通过 齐次化原理, 把它化为齐次方程问题求解(可参见引理5.2).这里 我们采用所谓特征函数法特征函数法, ,它类似于常微分方程中的常数变易法. 设想定解问题(II)具有形如 (2.24) 的解,其中 是待定函数.为了确定 ,将自由项 展成 的Fourier正弦级数 (2.25) 15其中 将(2.24)和(2.25)代入方程(2.10),得 由此即得 (2.26) 再利用(II)中的初始条件 ,有 于是 的初始条件应为 (2.27) 现在对定解问题(2.26),(2.27)求解,便得 将 的表达式代入(2.24),即得 16(2.28) 定理定理5.45.4 假定函数 及它的一阶偏导数在 内连续,且对所有的 ,都有 ,则由(2.28)确定的函数 就是定解问题(II)的解.最后,对于定解问题(III)我们只须令其中 则问题(III)化成如下混合问题 其中 .而这个定解问题又可写成上面讨论过 的定解问题 (I)和(II)的叠加. 17例例1 1 求解混合问题 其中 , 和 都是常数, 为已知函数. 解解 要想把边界条件化为齐次的,显然取 即可.为了把方程也能化成齐次的,我们令 这样原定解问题就可化为 18其中 所以原问题的解为 这已是定解问题(I)的形式,利用公式(2.21)得 19。