高等数学第8章8节.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,三、小结,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,(3),(2),(1),2、多元函数取得极值的条件,证,说明：,从几何上看，这时如果曲面 在点,处有切平面，则切平面,成为平行于 坐标面得平面,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，,均称为函数的,驻点,.,驻点,偏导数存在的极值点,问题,：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,例,4,求函数,的极值,解,先解方程组,求得驻点为,将上方程组再分别对,y,x,求偏导数,在点 处,所以函数在,处有极小值,又,在点 处,，,所以,不是极值,；,在点 处，,所以,不是极值；,在点,处,又,所以函数在 处有极大值,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点例如，显然函数,不存在因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑,.,求最值的一般,方法,：,将函数在,D,内的所有驻点处的函数值及在,D,的边界上的最大值和最小值相互比较，其中,最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值,来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,例,5,某厂要用铁板做成一个体积为,8m,3,的有盖长方体,水箱,问当长、宽、高各取多少时,才能使用料最省,解,令,0,),8,(,2,2,=,-,=,x,y,A,x,0,),8,(,2,2,=,-,=,y,x,A,y,x,2,y,2,得,=,=,.,根据题意可知,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并在开区域,D,(,x,y,)|,x,0,y,0,内取得,又,因为函数在,D,内只有一个驻点,(2,2),所以此驻点一定是,A,的最小值点,设水箱的长为,x,m,宽为,y,m,则所用材料的面积为,水箱所用的材料最省,根据题意可知断面面积的最大值一定存在,并且在,D,(,x,y,)|0,x,12,0,a,90,内取得,又函数在,D,内只有一个驻点,因此可以断定,当,x,8cm,a,60,时,就能使断面的面积最大,令,A,x,24sin,a,4,x,sin,a,2,x,sin,a,cos,a,0,A,a,24,x,cos,a,2,x,2,cos,a,x,2,(cos,2,a,sin,2,a,),0,解这方程组,得,a,60,x,8cm,例,6,有一宽为,24cm,的长方形铁板,把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽,问怎样折可使断面的面积最大,？,解,则断面面积为,设折起来的边长为,x,cm,倾角为,a,A,24,x,sin,a,2,x,2,sin,a,x,2,sin,a,cos,a,(0,x,12,0,a,90,),实例,：小王有,200,元钱，他决定用来购买两种急,需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购,买,x,张磁盘，,y,盒录音磁带达到最佳果，,效果函数为,U,(,x,y,)=ln,x,+ln,y,设每张磁,盘,8,元，每盒磁带,10,元，问他如何分配这,200,元以达到最佳效果,问题的,实质,：求 在条件,下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值,：对自变量有附加条件的极值,求解方程组,解出,x,y,z,t,即得,可能极值点的坐标.,解,则,例,7,求表面积为,a,2,而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为,x,y,，,z,.,体积为,V,.,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,下，,则,令,即,由(2),(1)及(3),(2)得,由(2),(1)及(3),(2)得,于是，,代入条件，得,解得,这是唯一可能的极值点。

因为由问题本身可知，,所以，,最大值就在此点处取得故，最大值,最大值一定存在，,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,四、小结,。