全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案001.doc

个人资料整理，仅供个人学习使用2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)若 lim Sin x (cosx _ b) = 5，贝U a = 1 ，b = 「4xtO ex _ a 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题【详解】因为lim 空艺(cosx_b) =5，且lim sinx (cosx_b) =0，所以 x—；oex -a x—；olim (ex - a) =0，得 a = 1.极限化为Xr0sin x xlim - (cosx-b) = lim (cosx-b) = 1-b = 5，得二 4. x—；o ex _ a x—；o x因此，a = 1, b 二(2)设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且盘丫) 0, 矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔则丄=—学.:uv g2(v)【分析】令u = xg(y) , v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可【详解】令 u = xg(y) , v = y，则 f (u , v) = —^ g(v), g(v)所以,f：：u g(v):-u：- v_g(v)2g(v)(3)设 f(x)=xex2_ 1「2X」，2，则2f(x—1)dx= - 12 -【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元:的积分性质即可•I =t,再利用对称区间上奇偶函数【详解】令x1=1,21 f (x _1)dx =21 1_1 f (t)dt = J_1 f (x)dt2 22 1 1 1=21 xex dx i(-1)dx =0 (-)- 2 22 2(4)二次型 f(x1,x2,x3^(x1 x2)2 (X2 - X3)2 (x3 x1)2 的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩 ，亦即标准型中平方项的项数 ，于是利用初等变换或配方法均可得到答案•2 2 2【详解一】因为f(X1,X2,X3)=(为X2) &2-怡)(X3为)‘211)于是二次型的矩阵为 A-12-151-12j卩-12 a卩-1 2 '由初等变换得 At03-3T03 -3e3-3」1。

0 0 /从而 r(A)=2,即二次型的秩为2.2x3 2 2x1x22x1x3—2x2 X32 2=2x1 2x2【详解二】因为 f(X「X2,X3)=(为 X2)2 (x2 - X3)2 (x3 xj22 2 2=2x1 2x2 2x3 2x1x2 2xjX3 -2x2x31 1 2 3 2=2(xi X2 X3) (X2 -X3)2 2 2= 2yi2 卜2,其中y^xi ^X2 1X3，y^x^X3.2 2所以二次型的秩为 2.1(5)设随机变量X服从参数为 入的指数分布，则P{X DX} .e【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案【详解】由于DX2 , X的分布函数为F(x)「1 -e0,X 0,x乞0.P{X DX} =1_P{X「DX} = ^P{^1^=^F(1^-. e⑹ 设总体X服从正态分布 N(山，o2),总体Y服从正态分布 N(血，o2),X1,X2，…Xt和Y,丫2,…Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则n1n2、(Xi -X)八(Yj _Y)22 (T2【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案1 n1 _ 1 n2 _【详解】因为 E[——Z (Xi —X)2]= o2, E[ 工(Yj —Y)2]= o2,ni _ 1 i 4 n2 _ 1 j J故应填o2.二、选择题(本题共 6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。

⑺函数f(x)= 以⑸n(x_2)2在下列哪个区间内有界 .x(x—1)(x-2)2m (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ]残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限lim f (x)与lim f (x)存在，则函数f (x) XTa* XTb —在(a , b)内有界.【详解】当 x 0.1.2 时，f (x)连续，而 lim f (x)= -色^3 , lim f (x)二-目^2 ,XT 二 * 18 XT 0一 4lim f (x^s^ , lim f(x) - ： - , lim f (x)「:,XrO 4 x )1 x )2所以，函数f (X)在]1 4.)内有界，故选(A).# / 15(8) 设 f (x)在] •一 ，呐有定义，且 lim f(x)二a ,XT°Og(x)=巧“0，则.0 ,x=0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点(C) x = 0必是g(x)的连续点.【分析】考查极限lim g(x)是否存在，如存在，是否等于XT01g(0)即可，通过换元u二丄,XD](D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [可将极限lim g(x)转化为lim f (x).XTO XT^O1 . 1【详解】因为 lim g(x) = lim f ( ) = lim f (u) = a(令 u )，又 g(0) = 0 ,所以,x >0 XrO xu》：： x当a = 0时，limg(x)二g(0)，即g(x)在点x = 0处连续，当d 。

时， XTOlim g(x) = g(0)，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性 XrO与a的取值有关，故选(D).(9) 设「⑴-卜(】＜)1,则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0,0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0,0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0,0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0,0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [C ]酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况【详解】设(j< <|，当 时，f (x) > 0，而f (0) = 0,所以x = 0是f(x)彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔的极小值点•显然，x = 0是f (x)的不可导点•当X ( Q时，「⑴- 旳 门，f”(x) = 2 ■ 0，謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍当垃 ⑴•时，丨⑴一⑴ 兀)，f "(x) - -2 ：：： 0，所以(0,0)是曲线y = f (x)的拐点•厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。

故选(C).(10) 设有下列命题：(1)若V (u2n j u2n)收敛，则v un收敛•n =1n=1⑵若7 Un收敛，则7 Un .1000收敛.n =1 n Tod若 lim 1，n un则7 Un发散•n =1oOVn都收敛•n =1QO OO⑷若v (Un Vn)收敛，则v Un，n =1 n T(C)⑶(4).(D) (1) (4). [ B ]茕桢广鳓鯡则以上命题中正确的是(A) (1)⑵• (B)⑵⑶.选块网羈泪镀齐分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4个命题的正确性oO oO【详解】(1)是错误的，如令un =(-1)n，显然，v un分散，而v (u2n^| u2n)收敛.nW n=1〕，所以v un发散•n 二1(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性⑶是正确的，因为由lim 1可得到un不趋向于零⑴nTM 口门oO QO⑷是错误的，如令un = \vnn1-，显然，' un，' vn都发散，而n n H n=1O07 (un vn)收敛.故选(B).n -1(11)设f (x)在[a , b]上连续，且f (a) • 0, f (b) :：: 0 ,则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点 xo • (a, b)，使得 f(xo)> f (a).(B) 至少存在一点 x0 ■ (a,b)，使得 f (xo) > f (b).(C) 至少存在一点xo ■ (a,b)，使得f (xo)=0.(D) 至少存在一点x^ (a, b)，使得彳(勺)=0.【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项 【详解】首先，由已知 f (x)在[a , b]上连续，且f (a) . 0, f (b) ：：： 0，则由介值定理,至少存在一点 x^ (a,b)， 使得 f(X。

)= 0 ；另外，f (a) = lim f (x)——. 0，由极限的保号性，至少存在一点 x0 (a,b)xTa* x — a使得 f (x))— >0，即 f (xo^ f (a). 同理，至少存在一点 勺€(a,b)x0 _ a使得f(x0) f(b).所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).(12)设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当 |A|=a(a=0)时，|B|=a. (B)当 |A|=a(a = 0)时，| B -a .(C)当 |A 产 0 时，|B| = 0. (D)当 |A|=0 时，|B|=0. [ D ]【分析】 利用矩阵A与B等价的充要条件：r(A)二r(B)立即可得.【详解】因为当| A|=0时，r(A) ：：： n,又A与B等价，故r(B) ：：： n,即|B|=0,故选(D).(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵A^- 0,若石，&飞，&是非齐次线性方程组 Ax二b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax = 0的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量.(D)【分析】要确定基础解系含向量的个数含有三个线性无关的解向量. [B ],实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩【详解】 因为基础解系含向量的个数 =n -r(A),而且。