(精品)数字信号处理(方勇)第二章习题答案.doc

数字信号处理学习拓展2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1） （2） （3） （4）（5）（6）解： （1） （2） （3） ， （4） = （5） （6） 2－2 设信号，它的傅里叶变换为，试计算(1)（２）（３）解： （１）（２），（３）2－3 已知求的逆傅里叶变换解： 2－4 设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换1） （2）（3） （4）解：(1) ， 令则：(2) (3) ，令，则： (4) 由，得所以 2－5 已知序列，求其傅里叶变换DTFT解：2－6 设，试求的共轭对称序列和共轭反对称序列；并分别用图表示解： 图形如下题2-6图所示：题2-6图 与序列图2－7 设系统的单位脉冲响应，，输入序列为完成下面各题：（1） 求出系统输出序列；（2） 分别求出、和的傅里叶变换解：（1）（2） 2－8 若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式： 求序列及其傅里叶变换解： 2－9 试用定义计算周期为5，且一个周期内的序列的DFS。

解：2－10 求出周期序列的DFS 解：由题知周期为4 2－11 已知周期为的信号，其DFS为，证明DFS的调制特性证明： 命题得证2－12 设将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换解： 以4为周期 和波形图如下题2-12图所示：题2-12图 和波形图2－13 如果是一个周期为的周期序列，其DFS为，将看作周期为2的周期序列，其DFS为试利用确定解： 按照题意，可以写出： == + 令，则 + 所以 2－14 根据下列离散时间信号的傅里叶变换，确定各对应的信号1）（2）解： （1） 因此 （2）因为含有冲激函数，因此，对应的信号为周期信号，设为，其周期为，DFS为，则有：的DTFT，有 即 而已知可见 即 所以 ，，，，得是以为周期的周期函数。

2－15 计算以下诸序列的点DFT，在变换区间内，序列定义为（1） （2），（3） （4）,其中（5） ，其中解： （1）（2）（3） ， （4） 由DFT的定义直接计算序列的DFT，对变换采样由于，对 在， 上采样，求得: （5） =, 2－16 已知，，求其点DFT解: ，2－17 设，求其原序列解： 2－18 已知下列，，求，其中解：2－19 已知序列的4点离散傅里叶变换为，求其复共轭序列的离散傅里叶变换解：2－20 证明DFT的对称定理，即假设证明： 证明： 2－21 如果，证明DFT的初值定理证明：由IDFT定义式知 2－22 证明离散帕斯维尔定理若，则证明： 2－23 令表示点序列的点离散傅里叶变换本身也是个点序列如果计算的离散傅里叶变换得一序列，试用求解：按照题意，可以写成 因为 所以 2－24 一个长度为8的有限时宽序列的8点离散傅里叶变换，如题2-24图所示。

令题2-24图 求的16点DFT，并画出其图形解：按照题意，当为奇数时为零，故可写出而 所以 即所以的图形如题2-26（a）图所示：题2-26（a）图2－25 已知序列是的6点DFT1） 若有限长序列的6点DFT 是,求 （2） 若有限长序列的3点DFT 满足，，，求解： （1）序列的DFT由的DFT与复指数相乘组成，这相当于是将圆周移位了4点：，所以：（2）序列长度为3，DFT变换为，，，，其中是 的6点DFT由于系数是对在单位圆上等间隔采样6点的结果，所以，，，，相当于是对在单位圆上等间隔采样3点，所以在区间外,因而;;就得到2－26 在很多实际应用中都需要将一个序列与窗函数相乘设是一个点的序列，是汉明窗：试用的DFT求加窗序列的DFT解：首先用复指数表示汉明窗因此如果则所以加窗序列的DFT为2－27 已知求和；欲使两卷积相同，则循环卷积的长度的最小值应为多少？解： ， L=4+2-1=5 2－28 已知序列，若是与它本身的4点循环卷积，求及其4点的。

解：的4点： 2－29 和都是长度为6点的有限长序列，和分别是和的8点DFT若组成乘积，对作8点IDFT得到序列，问在哪些点上等于以下线性卷积：解： 和都是长度为6点，则的长度为11点，而为 与的8点循环卷积根据线性卷积与循环卷积的关系，8点的循环卷积中，前3个点将由线性卷积的叠加，而后5个点等于线性卷积2－30 序列 （1） 求的4点DFT；（2） 若是与它本身的4点循环卷积，求及其4点DFT；（3） ，求与的4点循环卷积解： 由题可知：（1） （2） 得到 即 （3）由题知 得 2－31 序列为 计算的5点DFT，然后对得到的序列求平方：求的5点DFT反变换。

解：序列的5点DFT等于乘积，所以是与本身5点圆周卷积的结果： 一个简单的计算圆周卷积的方法是先进行线性卷积，然后将结果叠加： 与本身的线性卷积的结果为 用表格法计算圆周卷积，就会得到 题2-31表0 1 2 3 45 6 74 4 1 4 20 1 00 1 0 0 0 0 0 04 5 1 4 2— — —所以2－32 考虑两个序列：若组成，其中、分别是和的5点DFT，对作DFT反变换得到序列，求序列解： 因为是两个5点DFT和的乘积，所以是和的5点圆周卷积可以用图解法计算圆周卷积，也可以用先线性卷积再重叠的方法，还可以用先将DFT相乘再对乘积作DFT反变换的方法本题中，是一个简单序列，我们可以用分析法和的5点圆周卷积是： ，因为，，且，5点圆周卷积是： ，圆周卷积等于圆周移位序列的值从到求和的结果，因为是（可以看作是长度为5 的序列）可以通过反向读取序列得到，从开始：是的前5个 值相加的结果，得到。

将此序列圆周右移1后，就有前4个值相加后得到继续求解，求得：,,2－33 两个有限长序列和的零值区间为;对每个序列作20点DFT，得和，如果，，，，试问在哪些点上？为什么？解： 设，而，的长度为27，的长度为20，且 当上述周期延拓序列中无混叠的点上有：，2－34 两个有限长序列和，在区间以外的值为，两个序列圆周卷积后得到的新序列为其中若仅在时有非零值，确定为哪些值时，一定等于和的线性卷积？解： 由于，等于和的线性卷积的点是在区间内，圆周移位等于线性移位的那些点由于仅仅在区间内有非零值，我们可以看到杂区间内所以当时线性卷积与圆周卷积相等2－35 求证循环卷积定理设有限长序列和的长度分别为和，取，且和分别是两个序列的点DFT1） 若，求证；（2） 若，求证：证明：（1）点DFT等于的序列为:,,, ,需要用和来表示，由于， 将代入到的表达式中，有：，,, ,交换求和顺序，则，,, ,括号内的项等于，有：，,, , ==（2） 由定义， 若想用和 来表示，将下面的表达式代入上式得：，交换求和顺序，上式变成： 第二个求和就是，有： 所以，是和圆周卷积的倍： 问题得证。

2－36 若和都是长为点的序列，和分别是两个序列的点DFT证明： 证明：令和分别是和的点DFT ，是的点DFT，则的DFT是，，由性质有 ，让计算，就可以得到结论：2－37 已知实序列的８点DFT前５个值为．求其余三点的值解：为实序列，满足共轭对称性，得其余三点： , 0 2－38 已知、是长度为4的实序列，， ，求序列，解：由，得：， 所以 。