全国高中数学竞赛二试模拟训练题(60).doc

加试模拟训练题（60）1．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.2.  m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有的这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论．3.ABCD－A1B1C1D1是单位立方体．黑白二蚁同时从A点出发，沿着棱爬行，一条棱称为一段．白蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：爬行的第i段与第i＋2段所在直线是异面直线(其中i∈N)．如果白、黑二蚁走完第1990段后各自停止在某顶点处，问此时二蚁相距多远？4.设，证明对于任意给定的正整数m，序列……中至少包含一个整数的平方加试模拟训练题（60）1．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r. 连HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)， ① 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2 =cosA·bc-AH2， ② 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③由①、②、③有A=r2+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.2.  m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有的这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论．【题说】第二届（1987年）全国冬令营赛题6．【解】1987≥2+4+6+2m+1+3+…+（2n－1）=m（m+1）+n2因此，由柯西不等式于是221为3m+4n的上界，当m=27，n=35时，3m+4n取得最大值221．3.ABCD－A1B1C1D1是单位立方体．黑白二蚁同时从A点出发，沿着棱爬行，一条棱称为一段．白蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：爬行的第i段与第i＋2段所在直线是异面直线(其中i∈N)．如果白、黑二蚁走完第1990段后各自停止在某顶点处，问此时二蚁相距多远？【题说】第一届(1990)希望杯高一二试题1(5)，原为选择题．【解】按行动规则，白蚁爬行路线必然是：AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→…循环进行下去．黑蚁爬行路线必然是：AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA→…也循环进行下去．因此黑、白二蚁每爬行6段，又回到原出发地A点，循环进行．由于1990＝331×6＋4，故它们爬行1990步后，白蚁停在C点上，4.设，证明对于任意给定的正整数m，序列……中至少包含一个整数的平方。

证明 设则若r=0，则m是平方数设如果则存在正整数k, s使于是，所以因此，或为平方数（s-k-1=0），或，所以只需要讨论的情况此时存在k与s使得，，若，则如此继续，可知或存在某正整数使为平方数，或数列的每一项与某平方数的差构成数列s-1, s-2, s-3，……，由于对于给定的正整数m,s是一个固定的正整数，所以，以上差数数列必将终止于有限项，即存在某个正整数t（偶数），使得数列的某项为平方数 5 -。