1.9有理系数多项式.ppt

§4 最大公因式,§5 因式分解,§6 重因式,§10 多元多项式,§11 对称多项式,§3 整除的概念,§2 一元多项式,§1 数域,§7 多项式函数,§9 有理系数多项式,§8 复、实系数多项式 的因式分解,第一章 多项式,一、本原多项式,二、整系数多项式的因式分解,§1.9 有理系数多项式,问题的引入,1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：,对 则 可唯一分解,成不可约的有理系数多项式的积.,但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个,一般的方法.,2. 我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约,多项式；,在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些,二次多项式；,但在 上有任意次数的不可约多项式．如,如何判断 上多项式的不可约性呢?,3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．,这是因为任一有理数可表成两个整数的商．,事实上，设,若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得,也即,其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于,的公因子．,一、本原多项式,设,定义,若 没有,则称 为本原多项式．,有关性质,其中 为本原多项式．,（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．,,2．Gauss引理,定理10　 两个本原多项式的积仍是本原多项式．,设,是两个本原多项式．,若 不是本原的，则存在素数,证：,又 是本原多项式，所以 不能整除 的,每一个系数．,反证法．,令 为 中第一个不能被 整除的数，即,同理， 本原，令 为 中第一个不能被,整除的数，即,又,矛盾．,在这里,故　　是本原的．,,定理11　若一非零的整系数多项式可分解成两,个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解,成两个次数较低的整系数多项式的乘积．,二、整系数多项式的因式分解,设整系数多项式 有分解式,其中 且,证：,令,这里， 皆为本原多项式，,于是,由定理10， 本原，,即,从而有,得证．,,设 是整系数多项式，且 是本原,推论,的，若 则,必为整系数多项式．,令,本原，,即,为整系数多项式．,证：,于是有，,,定理12 设,是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，,其中 是互素的，则必有,是 的有理根，,从而,又 互素，,比较两端系数，得,证：,∴ 在有理数域上，,由上推论，有,本原．,所以，,定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，,而非充分条件．,例1　求方程 的有理根.,可能有理根为,用综合除法可知，只有1为根．,注意,解：,例2　 证明: 在 上不可约．,若 可约，,但 的有理根只可能是,所以 不可约．,证：,则　　 至少有一个一次因式，,也即有一个有理根．,而,矛盾．,,定理13　 艾森斯坦因Eisenstein判别法,设,是一个整系数多项式，若有一个素数 使得,则 在有理数域上是不可约的．,若 在 上可约，由定理11，,可分解为两次数较低的整系数多项式积,证：,又,不妨设 但,或,不能同时整除,另一方面，,假设 中第一个不能被 整除的数为,比较两端 的系数，得,上式中 　皆能被　整除，,矛盾．,故　　不可约．,例3　证明： 在 上不可约．,证：（令 即可）．,(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式),例4　判断,（　为素数）在 上是否可约．,令,则 为整系数多项式．,但,解：,在 上不可约，,从而 在 上不可约．,即,① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而,非必要条件．,注意,也就是说，如果一个整系数多项式,不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，,也可能是不可约的．,② 有些整系数多项式 　不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换　　　　　　　　　　使　　　　　　　满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式　　　不可约．,有理系数多项式 　在有理系数上不可约,命题,在有理数域上不可约．,多项式,,例5　证明： 在 上不可约．,取,证：,作变换,则,在Ｑ上不可约，,所以 在Ｑ上不可约．,由Eisenstein判别法知，,对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后,再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的,多项式　　　无论作怎样的代换　　　　　都不能,使 满足爱森斯坦因判别法的条件，,即找不到相应的素数,说明：,办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 上的,如，,练习,P 为素数， 证明:,在Ｑ上不可约．,。