高数第五版3-4函数单调性与曲线的凹凸性.ppt

§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性,一、单调性的判别法,二、曲线凹凸的定义与判定,三、曲线的拐点及其求法,四、小结,中国劳动关系学院,China Institute of Industrial Relation,,高等数学,,,,,定理 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.,,,一、单调性的判别法,(1)若在(a,b)内f ’(x)0,则f(x)在[a,b]上单调递增;,(2)若在(a,b)内f ’(x)0,则f(x)在[a,b]上单调递减.,证,应用拉氏定理,得,若在[a,b]内 f '(x)0,则f '(ξ)0,f(x)0,在[a,b]上单调递增,若在[a,b]内 f '(x)0,则f '(ξ)0,f (x)0,在[a,b]上单调递减,例1 讨论函数y=ex-x-1的单调性,解 定义域D= (-∞, +∞),注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．,函数在(-∞,0)单调递减函数在(0,∞)单调递增单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．,方法:用方程 f '(x)=0的根及 f '(x)不存在点划分的定义区间，再判断各区间内导数f '(x)的符号。

例2 确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间解,单调区间为,当-∞x≤1时,∴(-∞,1]单调递增,当1x≤2时,∴(1,2]单调递减,当2x ∞ 时,∴(2,∞]单调递增,例3,解,单调区间为,确定函数 的单调区间,例4 当x0时，证明xln(1+x)成立.,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,y=x3, y'|x=0=0,但在(-∞,+ ∞)上单调递增,设f(x)=x-ln(1+x),f(x)在[0,+ ∞)连续，且在(0,+ ∞) 可导, f '(x)0,f(x)在[0,+ ∞)单调递增，,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,,,,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,,,,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,二、曲线凹凸的定义与判定,定义 f(x)在(a,b)内连续,如果任意两点x1,x2恒有,则称f(x)在(a,b)内的图像是凹的;,则称f(x)在(a,b)内的图像是凸的,如果恒有,,,,,,,,,定理1 f(x)在[a,b]内连续, 在(a,b)内有一阶和二阶导数,曲线凹凸的判定,(1) 若f ''(x)0,则f (x)在(a,b)内的图像是凹的,(2) 若f ''(x)0,则f (x)在(a,b)内的图像是凸的,例4 判断曲线y=x3的凹凸性.,解,(1) x0时,f (x)在(- ∞,0]内的图像是凸的,(2) x0时,则f (x)在[0,+ ∞)内的图像是凹的,(0,0)凹凸的分界点.,1.定义 连续曲线凹凸的分界点称为曲线的拐点,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,证 f ''(x) 二阶导数,则f '(x )存在且连续,三、曲线的拐点及其求法,定理2 f(x)在(x0-δ, x0+δ)内存在二阶导数,则(x0,f(x0))是拐点的必要条件是f ''(x0 )=0,又f ''(x0 )=0,则f ''(x )=f '(f '(x))在x0两边变号,因此f '(x)在x0取得极值,故 f ''(x0 )=0,方法1:,例5,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例6,解,注意:,例7,解,四、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,曲线的弯曲方向——凹凸性;,改变弯曲方向的点——拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法1, 2.,思考题一,思考题一解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增．,思考题二,思考题二解答,例,练 习 题一,练习题一答案,练 习 题二,练习题二答案,中国劳动关系学院,China Institute of Industrial Relation,,,高等数学,。