电磁场与电磁波之静电场分析.ppt

§§3.13.1 静静 电电 场场 分分 析析 1. 基本方程基本方程 积分形式积分形式微分形式微分形式及及2. 边界条件边界条件 两种电介质分界面两种电介质分界面理想介质表面理想介质表面理想导体表面理想导体表面（静电场是有源无旋场）（静电场是有源无旋场）对应静电场的基本方程对应静电场的基本方程 ，矢量，矢量 可以表示一个静电场可以表示一个静电场例例 已知已知 ，试判断它能否表示一个静电场？，试判断它能否表示一个静电场？ 解：根据静电场的旋度恒等于零的性质解：根据静电场的旋度恒等于零的性质3. 电位函数电位函数 在静电场中可先通过求解电位函数，在静电场中可先通过求解电位函数， 再利用上式可方便地求得电场强再利用上式可方便地求得电场强度度 ，式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位点电荷系点电荷系连续分布电荷连续分布电荷点电荷的电势：点电荷的电势：，根据矢量恒等式，知，根据矢量恒等式，知静电场静电场静电场的电位函数静电场的电位函数(Potential)，简称，简称电位电位静电场的电场强度矢量等于电位梯度的负值。

静电场的电场强度矢量等于电位梯度的负值当取不同的当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）值时，可得到不同的等位线（面）  在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即 线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向在直角坐标系中：在直角坐标系中：  物理意义物理意义物理意义：把一个单位正电荷从点　沿任意路径移动到点　的过程中，物理意义：把一个单位正电荷从点　沿任意路径移动到点　的过程中，　　　　　电场力所做的功　　　　　电场力所做的功  设　为电位参考点设　为电位参考点 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点； 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点  静电位的微分方程静电位的微分方程静电位满足的标量静电位满足的标量泊松方程泊松方程静电位满足的标量静电位满足的标量拉普拉斯方程拉普拉斯方程（在均匀、线性和各向同性的电介质中）（在均匀、线性和各向同性的电介质中）分界面上不存在自由电荷，分界面上不存在自由电荷，  静电位的边界条件静电位的边界条件 设点设点1与点与点2分别位于分界面的两侧，其电位分别为分别位于分界面的两侧，其电位分别为 和和 。

其间距其间距又又介质分界面两侧电位连续介质分界面两侧电位连续第二种媒质为导体，第二种媒质为导体，例例 列出求解区域的微分方程列出求解区域的微分方程解解: 分区域建立方程分区域建立方程例例 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 和和 处，在两板之间处，在两板之间的的 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，求两导体平板之间的电位和的均匀电荷分布，求两导体平板之间的电位和电场边界条件边界条件通解通解解得解得 电位：电位：电场强度（球坐标梯度公式）：电场强度（球坐标梯度公式）： 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由到电位的解；再由 得到电场强度得到电场强度 的分布。

的分布  静电位的边界条件静电位的边界条件分界面上不存在自由电荷，分界面上不存在自由电荷，第二种媒质为导体，第二种媒质为导体，  静电位的微分方程静电位的微分方程泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程  电位定义式电位定义式   电位与电场强度的关系电位与电场强度的关系 点电荷的电位点电荷的电位例例 计算均匀带电球面电场中的电势分布球半径为计算均匀带电球面电场中的电势分布球半径为R、、总电量为总电量为q解：根据高斯定理求出电场的分布解：根据高斯定理求出电场的分布r < R E１＝0r > R设设U∞＝＝0r＞＞R时时r＜＜R时时r＝＝R时时4. 导体系统的电容导体系统的电容电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用 通过电容、电感通过电容、电感、、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率。

的损失和提高电气设备的利用率 电容与电容器上所带电量无关，完全由电容器本身的几何形状、电容与电容器上所带电量无关，完全由电容器本身的几何形状、尺寸及周围电介质的特性参数决定尺寸及周围电介质的特性参数决定 由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的与极板间的电位差电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容电容，即电，即电容为容为 电容的单位电容的单位F（（法拉）太大例如半径大如地球的孤立导体的电法拉）太大例如半径大如地球的孤立导体的电容只有容只有 F实际中，通常取实际中，通常取F（微法）及（微法）及pF（皮法）（皮法）作为电容单位作为电容单位电容的计算思路：电容的计算思路： 设设  例例 试求球形电容器的电容试求球形电容器的电容解：设内导体的电荷为解：设内导体的电荷为 ，则，则同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，（孤立导体球的电容）（孤立导体球的电容）  双导体的电容双导体的电容 传输线：纵向尺寸远大于横向尺寸。

平行板线、平行双线、同轴线传输线：纵向尺寸远大于横向尺寸平行板线、平行双线、同轴线可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度电容可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度电容计算步骤如下：计算步骤如下：①①根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；②②假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷 和和 ；；③③根据假定的电荷求出根据假定的电荷求出 ；；④④由由 求得电位差；求得电位差；⑤⑤求出比值求出比值 例例　平行双线传输线，导线半径为　平行双线传输线，导线半径为a，轴距为，轴距为DD>> a设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，，外导体的内半径为外导体的内半径为b，，内外导体之间内外导体之间填充介质的介电常数为填充介质的介电常数为  试求单位长度内外导体之间的电容试求单位长度内外导体之间的电容 解解 由于电场强度一定垂直于导体表面，由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。

又因结构对称，可以应用高斯定律又因结构对称，可以应用高斯定律 ab 设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q q，，围围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面绕内导体作一个圆柱面作为高斯面S S，则，则那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 同同轴线 多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，还多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而空间的电场是由它们共同产生的围空间静电场的分布，而空间的电场是由它们共同产生的 q1q3qnq2 此时，各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为此时，各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为式中式中Cii 称为第称为第 i 个导体的个导体的固有部分电容固有部分电容；；Cij 称为第称为第 i 个导体与第个导体与第j 个导体之间的个导体之间的互有部分电容互有部分电容。

  部分电容部分电容 1 12 2大地大地大地上空的平行双导线大地上空的平行双导线 在多导体系统中，把其中任意两个在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压个电极间加上电压U U，极板上所带电荷，极板上所带电荷分别为分别为 ，则比值，则比值 称为这两个称为这两个导体间的等效电容导体间的等效电容 由由 个导体构成的系统共有个导体构成的系统共有 个部分电容个部分电容5. 电场能量电场能量 已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生运动，这就意味着电场力作了运动，这就意味着电场力作了功功静电场为了对外作功必须消耗自身静电场为了对外作功必须消耗自身的能量，可见的能量，可见静电场静电场是是具有能量具有能量的 首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤立的孤立带电体的能量。

带电体的能量 如果静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外力必如果静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量储藏在静电场中，须反抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加使静电场的能量增加 由此可见，根据由此可见，根据电场力作功电场力作功或或外力作功外力作功与与静电场能量静电场能量之间的转换之间的转换关系，可以计算静电场能量关系，可以计算静电场能量  设带电体的电量设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处移入的由于开是从零开始逐渐由无限远处移入的由于开始时并无电场，移入第一个微量始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功时外力无须作功孤立导体孤立导体电场能量为电场能量为 当第二个当第二个dq 移移入时，外力必须克服电场力作功若获得的电位为入时，外力必须克服电场力作功。

若获得的电位为 ，则外力必须作，则外力必须作的功为的功为  dq ，， 因此，电场能量的增量为因此，电场能量的增量为 dq 带电体的电位随着电荷带电体的电位随着电荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数 那么当电量增至那么当电量增至最终值最终值 Q 时，外力作的总功，也就是电量为时，外力作的总功，也就是电量为 Q 的带电体具有的能量的带电体具有的能量为为双导体系统，导体双导体系统，导体1带电荷带电荷 ，导体，导体2带电荷带电荷 ，电位分别为，电位分别为 和和电场能量为电场能量为  对于对于 N 个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进行计算。

个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进行计算系统的总电场能为系统的总电场能为 多导体带电系统多导体带电系统 当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由 ，求得这种分布电荷的带电体总能量为，求得这种分布电荷的带电体总能量为 从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度应该计算静电场的能量分布密度静电场的能量密度静电场的能量密度以小写英文字母以小写英文字母we 表示  静电场的能量密度静电场的能量密度we只要电荷分布在有限区域内，而闭合面无限扩大时只要电荷分布在有限区域内，而闭合面无限扩大时→→点电荷电场点电荷电场则则能量密度能量密度对于各向同性的线性介质，对于各向同性的线性介质， ，代入后得，代入后得 此此式式表表明明，，静静电电场场能能量量与与电电场场强强度度平平方方成成正正比比。

因因此此，，能能量量不不符符合合叠叠加加原原理理虽虽然然几几个个带带电电体体在在空空间间产产生生的的电电场场强强度度等等于于各各个个带带电电体体分分别别产产生生的的电电场场强强度度的的矢矢量量和和，，但但是是，，其其总总能能量量并并不不等等于于各各个个带带电电体体单单独独存存在在时时具具有有的的各各个个能能量量之之和和事事实实上上，，这这是是因因为为当当第第二二个个带带电电体体引引入入系系统统中中时时，，外外力力必必须须反反抗抗第第一一个个带带电电体体对对第第二二个个带带电电体体产产生生的的电电场场力力而而作作功功，，此此功功也也转转变变为为电电场场能能量量，，这这份份能能量量通通常常称称为为互互有有能能，，而而带带电电体体单单独独存存在在时具有的能量称为时具有的能量称为固有能固有能例例 半径为半径为 a的球形空间均匀分布着体电荷密度为的球形空间均匀分布着体电荷密度为ρρ的电荷的电荷，试求电场能量试求电场能量 解解 可以通过二种途径获得相同结果可以通过二种途径获得相同结果①①由高斯定理求电场强度，代入能量公式由高斯定理求电场强度，代入能量公式②②由电位定义求电位，代入能量公式由电位定义求电位，代入能量公式6. 电场力电场力 已已知知带带电电体体的的电电荷荷分分布布，，原原则则上上，，根根据据库库仑仑定定律律可可以以计计算算带带电电体体电电荷荷之之间间的的电电场场力力。

但但是是，，对对于于电电荷荷分分布布复复杂杂的的带带电电系系统统，，根根据据库库仑仑定定律律计计算算电电场场力力是是非非常常困困难难的的，，有有时时甚甚至至无无法法求求积积为为了了计计算算具具有有一一定定电电荷荷分分布布的的带带电电体体之之间间的的电电场场力力，，通通常常采采用用虚虚位位移移法法这这种种方方法法是是假假定定带带电电体体在在电电场场作作用用下下发发生生一一定定的的位位移移，，根根据据位位移移过过程程中中电电场场能能量量的的变变化化与与外外力力及及电电场场力力所作的功所作的功之间的关系计算电场力之间的关系计算电场力 以以平平板板电电容容器器为为例例，，设设两两极极板板上上的的电电量量分分别别为为+q 及及 -q ，，板板间间距距离离为为 l 为为了了计计算算方方便便，，假假定定在在电电场场力力作作用用下下，，极极板板之之间间的的距距离离增增量量为为dl众众所所周周知知，，两两极极板板间间的的相相互互作作用用力力实实际际上上导导致致板板间间距距离离减减小小因因此此，，求求出出的的作用力应为负值作用力应为负值dll-q+q 既然认为作用力既然认为作用力 导致位移增加，因此，作用力导致位移增加，因此，作用力 的方向为位移的的方向为位移的增加方向。

这样，为了产生增加方向这样，为了产生 位移增量，电场力作的功应为位移增量，电场力作的功应为 根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即由此求得由此求得式式中中脚脚注注 q=常数 说说明明当当极极板板发发生生位位移移时时，，极极板板上上的的电电量量没没有有发发生生变变化化，，这样的带电系统称为这样的带电系统称为常电荷系统常电荷系统 已已知知平平板板电电容容器器的的能能量量为为 对对于于常常电电荷荷系系统统，，发发生生位位移时电量移时电量 q 未变，只有电容未变，只有电容 C 改变了式式中中S 为为极极板板的的面面积积，，l 为为两两极极板板的的间间距距将将这这些些结结果果代代入入上上式式，，求求得平板电容器两极板之间的作用力为得平板电容器两极板之间的作用力为 已知平板电容器的电容已知平板电容器的电容式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向 如如果果假假定定发发生生位位移移时时，，电电容容器器始始终终与与电电源源相相连连，，这这样样，，在在虚虚位位移移过过程程中中，，两两极极板板的的电电位位保保持持不不变变，，这这种种系系统统称称为为常常电电位位系系统统。

根根据据这这种种常常电电位位的的假假定定，，也也可可以以计计算算平平板板电电容容器器两两极极板板之之间间的的作作用用力力，，所得结果应该与上完全相同所得结果应该与上完全相同 设设在在电电场场力力作作用用下下，，极极板板间间距距的的增增量量为为dl由由于于电电容容改改变变，，为为了了保保持持电电位位不不变变，，正正极极板板的的电电荷荷增增量量为为dq，，负负极极板板的的电电荷荷增增量量为为-dq 设正负极板的电位分别为设正负极板的电位分别为  1 及及  2 ，则电场能量的增量为，则电场能量的增量为式中式中 为两极板之间的电压为两极板之间的电压 为为了了将将 dq 电电荷荷移移至至电电位位为为 1的的正正极极板板，，将将电电荷荷-dq移移至至电电位位为为 2的负极板，外源必须作的功为的负极板，外源必须作的功为 根根据据能能量量守守恒恒原原理理，，外外源源作作功功的的一一部部分分供供给给电电场场力力作作功功，，另另一一部分转变为电场能的增量，因此部分转变为电场能的增量，因此求得求得例例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。

利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力解解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为表面张力为F在此表面张力在此表面张力F 的作用下，使极板面积扩大了的作用下，使极板面积扩大了dS，，则电场力作的功为则电场力作的功为FdS根据能量守恒原理，这部分功应等于电场根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即能量的减小值，即已知平板电容器的能量为已知平板电容器的能量为 ，代入上式，得，代入上式，得 若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变那么，表若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变那么，表面张力面张力F 应为应为 那么将那么将 代入，即可获得同样结果代入，即可获得同样结果 如果将如果将 及及 两式中的变量两式中的变量 l 理解为理解为一种一种广义坐标广义坐标，也就是说，，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。

可以代表位移、面积、体积甚至角度那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力广义力  显显然然，，对对于于不不同同的的广广义义坐坐标标，，其其广广义义力力的的含含义义不不同同对对于于位位移移而而言言，，广广义义力力就就是是普普通通概概念念的的力力，，单单位位为为N；；对对于于面面积积，，广广义义力力为为表表面面张张力力，，单单位位为为N/m；；对对于于体体积积，，广广义义力力为为膨膨胀胀力力或或压压力力，，单单位位为为N/m2；；对对于于角角度度，，广广义义力力为为转转矩矩，，单单位位为为N•m若若规规定定广广义义力力的的方方向向仍仍然然为为广广义义坐坐标标增增加加的的方方向向，，那那么么，，广广义义力力与与广广义义坐坐标标的的乘乘积积仍仍然然等等于于功功这样，前两式可分别改写为这样，前两式可分别改写为两式中的微分符号变为两式中的微分符号变为偏微分偏微分是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关l 代表对应于广义力的广义坐标由上两式可见，代表对应于广义力的广义坐标由上两式可见，带电系统的能带电系统的能量与多少种广义坐标有关量与多少种广义坐标有关，，就存在多少种广义力就存在多少种广义力。

当带电系统的某一广当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力广义坐标发生变化的广义力 例例 计算带电肥皂泡的膨胀力计算带电肥皂泡的膨胀力解解 设肥皂泡的电量为设肥皂泡的电量为q ，，半径为半径为a利用常电荷系统公式，令式中广利用常电荷系统公式，令式中广义坐标义坐标 l 代表体积代表体积 V，，则受到的膨胀力则受到的膨胀力F 为为 已知半径为已知半径为a，，电量为电量为q 的带电球的电位为的带电球的电位为因此，携带的能量为因此，携带的能量为 又知球的体积为又知球的体积为 代入上式，得代入上式，得 。