选修2-1第二章空间向量和立体几何章末复习课.docx

二章空间向量与立体几何理网络•明结构空间向量 及其运算线线平行线线垂直立体几何的 向量方法直线的方 向向量与 平面的法 向量线面平行 线面垂直 面面平行 面面垂直异面宜线的夹匍 线面的夹角 面面的夹角归要点•识重点1 .空间向量的运算及运算律空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可 以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立.2 .两个向量的数量积的计算向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、 夹角等问题中.3 .空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间坐标系，然后再利用有关公式计算求解.常 用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解 空间角与空间距离的问题.4 .空间向量的分解定理说明：用三个不共面的已知向量｛a, b, c｝可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的.5 .利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将原问题转化为等价 的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知 向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解.6.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系， 难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过 向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.探题型•提能力题型一空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算.空间 向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致.主要考查空间向量的共线与共面以及数量积 运算，是用向量法求解立体几何问题的基础.例I如图，在四棱锥S—ABC。

中，底面ABC是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：①双+而+交+豆）=0； \ \\@SA + SB-SC-SD=0； ®SA-SB+SC~SD=0；④SA.SB = SCSD； // \ /⑤藕•交=0,其中正确结论的序号是.答案③④ 解析 容易推出：SA-SB+SC-SD=BA+DC=O,所以③正确；又因为底面ABCO是边长 为 1 的正方形，SA=SB=SC=SD=2,所以说,而=22cosNASB, SCSD=2-2cosZCSD, 而NA58=NCSO,于是6•花=爻・扬，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序 号是③④.A跟踪训练1如图所示，直三棱柱ABC-Ai&G中，AA|=AB=AC, ABLAC, M是CG的中点，是BC的中点，P是4囱的中点，则 直线P与AM的夹角为（）,加 c兀A6 B4C3 D2答案D解析 以A为坐标原点，AC、AB. AA]所在直线为尢轴、y轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA]=AB=AC=29则Qf=(2,0,1), fi( 1,1,0), P(0」,2),齿=(-1,0,2),所以齿3.病=0,所以 QP 与 AM 的夹角为夕 题型二利用空间向量证明空间中的位置关系向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研 究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平 行、线面垂直、面面平行、面面垂直等.用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下.1 .线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.2 .线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则山=0.3 .线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直：②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量.4 .线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.5 .面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题.6 .面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题.例2如图，已知在直三棱柱ABC—A|B|G中,4C_LBC,O为AB的中点， AC=BC=BBt.求证：(1)8G_L48|； (2)8G 〃平面 CA}D. 证明 如图，以Ci为原点，分别以GAi，GS，GC所在直线为x轴， y轴,z轴建立空间直角坐标系.设AC=8C=88|=2,则A(2,0,2),8(0,2,2), C(0,0,2), 4(2,0,0), Bi(0,2,0), G(0,0,0), £>(1,1,2).(1)由于比 1=(0, -2, -2),AS=(-2,2, -2),因此病।•第i=0—4+4=0,因此反故 8C|J_AB|.(2)取AC的中点E,连接。

E,由于41,0,1),所以访=(0,1,1),又说i=(0, -2, -2),—► 1 —►所以 E£>=->?C],又EO和5G不共线，所以E£>〃BG,又OE 平面CAQ, 8G平面CAQ,故8cl 〃平面CA,D.跟踪训练2正方体A8CQ-A|8|C|£>|中，E、尸分别是8&、CO的中点，求证：平面AEO_L 平面AiFCi.证明如图，建立空间直角坐标系Dryz.设正方体棱长为1,则 E(l,l, |), Di(0(0,l), F(0, I，0), A( 1,0,0)..•.5a=(i,o,o)=zmi,D£=(l,l, 2)1—► 1DiF=(0, y -1).设相=(即，yi，zi), 〃 = 3，、，Z2)分别是平面AE和的一个法向量,[m-DA^O, 卜 1=由 1 1[mDE=0 卜1+乃+呼1=0.令 yi = l,得帆= (0,1, -2)._八 fM = 0,n-D\A\=0, /又由彳 nj 1,nD>=0 •2-Z2=0.令 Z2=l,得 ”=(0,2,1).Vm n=(0,l, -2) (0,2,l)=0, /./nln,故平面 AEO_L平面 A|FC1. 题型三利用空间向量求空间角1 .求异面直线的夹角设两异面直线的方向向量分别为"八"2,那么这两条异面直线的夹角为。

〃］，”2〉或9—7t —〈“/, ”2)>.'.COS 0=|COS〈〃” “2〉I-2 .求面面的夹角如图，设平面a、乃的法向量分别为"八"2.因为两平面的法向量的夹角(或其补角)就等于平面a、夕的夹角仇 所以cos6=|cos3 .求斜线与平面的夹角如图，设平面a的法向量为小，斜线0A的方向向量为"2,斜线与平面的夹角为仇则sin 0= |cos («/, "2〉I-例3如图，正方形ACQE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与 的交点，ACLBC,且 AC=BC.(1)求证：AAf_L 平面 E8C；(2)求直线AB与平面E8C的夹角； (3)求平面EAB与平面EBC的夹角.(1)证明•..四边形ACDE是正方形， ：.EA±AC,♦..平面 ACL>E_L 平面 ABC, .\EA_L 平面 ABC..,•可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和 AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系心z设 EA=AC=BC=2,则 4(0,0,0), 8(2,2,0), C(0,2,0), E(0,0,2).是正方形AC£>E的对角线的交点， .20,1,1).VAAf=(0,l,l),比=(0,2, -2), %=(2,0,0),：.AM EC=Q, AM CB=0.C.AMLEC, AMA.CB.又•.•ECCC8=C, AM。

平面 EBC, 平面 EBC.⑵解 ：AM J■平面EBC,...麻f为平面EBC的一个法向量.•俞=(0,1,1),烈=(2,2,0),Acos〈欣 AM)12-：.〈矗，AM) =60°.直线48与平面EBC的夹角为30⑶解 设平面EA8的法向量为〃=(x, y, z),则 ”J_族:且”_L祐，：.n-AE=0 且 n-AB=0.J(0. 0, 2)-(x, y, z)=0, Jz=O.1(2, 2, 0)-(x, y, z)=0, [x+y=0.取 y= -1, .*.x= l..'.n=(l, —1,0).又为平面EBC的一个法向量，且Qf=(0,l,l),\n\-\AM\设平面EAB与平面EBC的夹角为6, 则 cos®=|cos〈”，AM} |=g, .".0=60°.平面EAB与平面EBC的夹角60°.跟踪训练3如图所示，在直三棱柱ABC-AtBtCi中，A8=4, AC=BC=3,为A8的中点.(1)求点C到平面A}ABB1的距离；⑵若ABi_L4C，求平面AC£>与平面GCC夹角的余弦值.解(1)由AC=BC,为A8的中点，得CO,4A又CO_LA4”故COJ_平面AiABBi，所以点C到平面的距离为到£)?= 小,(2)方法一 如图，取A向的中点。

1，连接£)1，则£)£>i〃44]〃CG. 又由(1)知 CDJ_平面 AABBi，故 COJ_A|O, CDXDD,, 所以NA]9为所求的二面角A.-CD-Cy的平面角.因为4Q为AC在平面AMBBi上的射影， 又已知A8i_LAiC,易得48|J_AQ,从而/人历&、NA|D4都与NB|AB互余， 因此 NA|ABi = NAiD4,所以 RtZ\Ai4QsRt/^Bp4]A,因此酷 /\U /L/if即 AA；=AjD,A［6］ = 8, AA।=2,^2.从而 AiD=y)AA^+Ab1=2y［3.在 RtAA.DD,中，cosNAQa=^=^=坐.方法二 如图，过£>i〃A4i交4当于1,在直三棱柱中，易 知DB, DC, DD\两两垂直.以为原点，射线OB, DC,分别为x轴、y轴、z轴的正半轴 建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为九则 A(—2,0,0), Ai(-2,0, A), fii(2, 0, h), C(0,小，0), G(0,小, h).从而后। = (4,0, h), XjC=(2,邓,-h).由篇|_1杭，有8—川=0,解得力=2啦.故属尸(一2,0,2巾)，CC! = (0,0,2-72),DC=(0,小，0).设平面ACO的法向量为"i=(x” yi，Z)),则 m_L虎，m±DAi,即［小”一。

取Z| 二 l,得尸阪 0,1),［一 2xi + 2 5 zi=0.设平面C|CQ的法向量为〃=(应，、2，22),n±DC9 /i±CCH 即C 0， 取必=1，12任 2 =得 “=(1,0,0),所以 8s =丽=声］=¥.所以平面4C与平面GCO夹角的余弦值为半.［呈重点、现规律］空间向量的引入拓展了解决立体几何问题的思路，我们可以通过建立合理的空间直角坐标系, 直接利用空间向量的坐标运算进行求解，这也是空间几何体数字化的一个特征.。