第四讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A类例题例1 已知、为锐角，且，求证对一切，有分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数的单调性，因此首先应比较与的大小，而函数的单调性与α的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若x>0，则，则，由正弦函数的单调性，得，即，又x>0，故有．（2）若x<0，则，则，由正弦函数的单调性，得，即，又x<0，故有．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例2 已知，试比较和的大小．[来源:学*科*网]分析 两个式子分别含有与的三角函数，故可考虑都化为的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一 =，∵，所以当，即时，上式有最大值1，当且时，上式总小于1．因此，当时，=；当且时，．解法二 设，由得，故，则，，于是有-=因此，当时，=；当且时，．链接 本题用到以下两组三角公式：（1）半角公式 （2）万能公式：；； 例3 已知，求证：cos(sinx)>sin(cosx)分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比cos(sinx)小，同时比sin(cosx)大，即可证明原不等式．证法一 （1）当时，显然cos(sinx)>sin(cosx)成立．（2）当时，，，则cos(sinx)>0>sin(cosx)．（3）当时，有0cosx；而，则sin(cosx)cosx >sin(cosx)，从而cos(sinx)>sin(cosx)． 分析二 cos(sinx)可看作一个角sinx的余弦，而sin(cosx)可看作一个角cosx的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当时，有0cos(-cosx)=sin(cosx)，即cos(sinx)>sin(cosx)．x在其他区域时，证明同证法1．说明 （1）本题的证明运用到结论：时，，这是实现角与三角函数值不等关系转化的重要工具，该结论可利用三角函数线知识来证明．（2）证法一通过中间量cosx来比较，证法二利用有界性得sinx+cosx，再利用单调性证明，这是比较大小常用的两种方法；（3）本题结论可推广至. 情景再现1．在锐角△ABC中，求证： .2．已知，，求证：.3．当时，求证：.B类例题例4 在中，证明： 分析一 本题中有三个变量A、B、C，且满足A+B+C=180°，先固定其中一个如角C，由于A+B =180°- C,故对不等式的左边进行和差化积，将其转化为与A－B有关的三角函数进行研究．证法一 我们先假定C是常量，于是A+B=C也是常量.，显然，对于同一个C值，当A=B时，上式达到最大值．同样，对同一个A或B，有类似结论；因此,只要A、B、C中任意两个不等，表达式就没有达到最大值，因而，当A=B=C=时，有最大值，∴原不等式得证．说明 不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值，这种方法称为逐步调整法．分析二 即证，观察左边的形式，从而考虑用琴生不等式进行证明．证法二 函数是区间（0，π）上的上凸函数，从而对任意的三个自变量，总有，等号当时成立．因此有，从而有，因此原不等式成立．说明 本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明．链接 关于凸函数与琴生不等式的有关知识凸函数定义：函数f(x)如果对其定义域中任意的x1、x2，都有如下不等式成立：f（）≤[f(x1)+f(x2)]，则称f(x)是下凸函数，等号当x1=x2时成立．如果总有f（）≥[f(x1)+f(x2)]，则称f(x)是上凸函数，等号当x1=x2时成立．x1x2MPQx1x2MPQ其几何意义是，不等式①表示定义域中任意两点x1、x2，中点M所对应的曲线上点Q位于弦上对应点P的下面，不等式②则有相反的意义．定理：若f(x)是在区间I内的下凸函数，则对区间I内的任意n个点x1，x2，…,xn，恒有f（）≤[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]，等号当x1=x2=…=xn时成立．若f(x)为上凸函数，不等号反向．上述不等式称为琴生不等式，琴生不等式是丹麦数学家琴生(Jensen)于1905～1906年建立的．三角函数如y=sinx，y=cosx在（0，）是上凸函数；y=tanx,y=cotx在（0，）是下凸函数．例5 已知,．求证：（90年国家集训队测试题）分析 将二倍角均化为单角的正余弦，联想单位圆中的三角函数线，两两正余弦的乘积联想到图形的面积．证明 即证即证明注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和，而为此单位圆在第一象限的面积，所以上式成立，综上所述，原不等式成立．例6 已知不等式[来源:学科网]对于恒成立．求的取值范围．（2004年首届东南地区数学奥赛试题）分析 所给不等式中有两个变量，给出其中一个的范围，求另一个的范围，常采用分离变量的方法．注意到与角θ有关的几个三角函数式，，，因此考虑令进行变量代换，以化简所给不等式，再寻求解题思路．解 设，则，当时，．从而原不等式可化为：，即， ，[来源:学科网]∴原不等式等价于不等式（1）， （1）不等式恒成立等价于恒成立．从而只要．又在上递减，，所以． 例7 三个数a,b,c，且满足，，，按从小到大的顺序排列这三个数．（第16届全苏竞赛题）分析 比较a,b,c三数的大小，，，，等式的两边变量均不相同，直接比较不易进行，故考虑分类讨论，先比较a与b，由，对等号两边分别比较，即先假定一边的不等号方向，再验证另一侧的不等号方向是否一致．解 （1）若，则，但由，故有矛盾，即a≠b．（2）若，则由单调性可知，又由及题意可得，而，因此又可得，从而产生矛盾．综上，．类似地，若，则由题意可得，从而可得与矛盾；若，则，即，，即矛盾．综上可得：．说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种，从而得第三种，体现了“正难则反”的解题策略．情景再现4．在三角形ABC中，求证：（1）；（2）．5．设，且，求乘积的最值．（1997年全国高中数学联赛）6．求证：（2004年福建省数学竞赛题）C类例题例8 已知当时，不等式恒成立，试求的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）分析一 不等式左边按一、三两项配方，求出左边式子的最小值，根据最小值应当为正求出的取值范围．解法一 设， 则由时恒成立，有，，，当时，，令，则，，故，即，且，所求范围是：，反之，当时，有，且，于是只要必有恒成立．分析二 不等式左边视为关于x的二次函数，求出此二次函数的最小值，令其大于0，从而求出的取值范围．解法二 由条件知，，若对一切时，恒有，即对时恒成立，则必有，另一方面对称轴为，故必有，即，，又由于故．分析三 原不等式看作关于x与1-x的二次齐次式，两边同除x(1-x)．解法三 原不等式化为：x2cos+(1-x)2sin>x(1-x)，①x=0得sin>0，x=1得cos>0；②当x≠0且x≠1时，上式可化为：cos+sin>1对x∈(0,1)恒成立，由基本不等式得cos+sin≥，∴cos+sin的最小值为，等号当cos=sin即时取到，因此>1．∴，又由于故．例9已知都是实数，若对于一切实数，都有，求证：，．（1977第十九届IMO）分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成，其中x为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数x，故考虑用特殊值方法．证明 若，，则结论显然成立；故下设，：令得，，即对于一切实数，都有（1） （2）（1）+（2）得：，即对于一切实数恒成立，，因此． （3）（1）+（3）得：，即恒成立，，∴ ．例10 设，求证：对任意满足的实数有分析 由消去一个未知数z，再整理成关于y的二次不等式，对x恒成立，即可得证．证明 由题意，则将代入不等式左边得，不等式左边=（1）当，易证不等式左边成立．；（2）当，整理成y的二次方程，证△≤0．左边，由，∴，∴不等式左边成立．情景再现7．证明：对于任意△ABC，不等式acosA+bcosB+ccosC≤p成立，其中a、b、c为三角形的三边，A、B、C分别为它们的对角，p为半周长．（第十六届全俄数学竞赛题）8．设是一个锐角三角形的三个内角，求证：习题1．求证：对所有实数，均有．2．在锐角三角形ABC中，求证： 3．在锐角三角形ABC中．求证： 4．求证：5．已知，能否以的值为边长，构成一个三角形？6．已知为锐角，求证：7．已知A+B+C=，求证：8．在三角形ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，求证：．9．设A、B、C为锐角三角形之内角，n为自然数，求证：．（93年第三届澳门数学奥林匹克赛题）10．已知，，求证：11．设P是三角形ABC内任一点，求证：∠PAB，∠PBC，∠PCA中至少有一个小于或等于30°．12．解方程（1995年全俄竞赛题）本节“情景再现”解答：1．证明：锐角三角形可知A+B，从而A-B，从而，同理，三式相加得证．2．证明：由已知得及知，，从而，要证，只须证明，由于，于是问题归结为证，即，而上式显然成立，因此原不等式成立．3．证法一：当x∈(0,)时，∵0cos(-sinx)=sin(sinx)．4．证明：（1）由琴生不等式即得．（2），从而得证．5．解：由条件知，，，，于是=，当时取等号，故最小值为（y与z相等，且x达到最大时，乘积有最小值）．又=，且当时等号成立，故的取大值为．6．证明：设，，则有，当时，；当时，因此．7．证明：因为cosx（x∈（0，π））递减，所以a-b与cosA-cosB异号，从而（a-b）（cosA-cosB）≤0．即acosA+bcosB≤acosB+bcosA=C （l）当且仅当a=b时等号成立．同理acosA+ccosC≤b （2） bcosB+ccosC≤a （3），即得所要证的不等式．8．证明：，，同理得另两个，命题得证．“习题”解答：1．证明：显然成立，下面证明等号不能成立．用反证法．若等号成立，则，则，则，则，不可能为奇数，。
