2022版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何微专题进阶课8抛物线焦点弦的四个结论学案含解析新人教B版.doc

高考复习资料第8章 平面题目解析几何抛物线焦点弦的四个结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)|AF|＝，|BF|＝.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)A．4 B． C．5 D．6【一般解法】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xAxB＝1.①因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.【应用结论】(方法一)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图．设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E.设|BF|＝m，|AF|＝2m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m.由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，所以sin2θ＝.又y2＝4x，所以2p＝4，利用弦长公式|AB|＝＝.(方法二)因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A. B. C. D.【一般解法】由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，所以yA＋yB＝3，yAyB＝－.故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝6＝.【应用结论】由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|sin 30＝，故S△AOB＝|AB|d＝12＝.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)A．5 B．6 C． D．【一般解法】如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D.由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4.因为F是AC的中点，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3,2)．又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)．代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.【应用结论】前面同一般解法，求得抛物线的方程为y2＝4x.(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3.又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.(方法二)因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.3 / 3。