高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理和余弦定理课件 理 北师大版.ppt

§4.6　正弦定理和余弦定理第四章￿￿三角函数、解三角形基础知识　自主学习课时作业　题型分类　深度剖析内容索引基础知识　自主学习定理正弦定理余弦定理内容 ＝ ＝ ＝2Ra2＝                          ；b2＝            ；c2＝________________1.正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则知识梳理b2＋c2－2bccos Ac2＋a2－2cacos Ba2＋b2－2abcos C变形(1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝ ；(2)sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ；(3)a∶b∶c＝ ；asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A(4)cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝2Rsin B2Rsin Csin A∶sin B∶sin C2.在在△△ABC中，已知中，已知a，，b和和A时，解的情况时，解的情况 A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin Ab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式三角形常用面积公式(1)S＝ a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝ absin C＝      ＝             ；(3)S＝ r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).1.三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；【知识拓展】2.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；3.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.题组一　思考辨析题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　　)(3)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.(　　)(4)在△ABC中， (　　)(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)基础自测×√√123456√×题组二　教材改编题组二　教材改编2.在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为______________ .答案解析　解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝ ，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.解析角三角形等腰三角形或直1234563.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 ，则△ABC的面积为 .解析答案123456题组三　易错自纠题组三　易错自纠4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c0，∴cos B<0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形.1234565.(2018·桂林质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是 A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定解析答案√√123456∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.6.(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .解析答案解析　解析　由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，123456题型分类　深度剖析1.(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于 解析　解析　在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，解析答案题型一　利用正、余弦定理解三角形自主演练自主演练√√2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于 解析　解析　∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sin B＝5sin C.又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin 2B，∴8sin B＝10sin Bcos B.解析答案√√解析答案1(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.思维升华思维升华典典例例 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.(1)证明：A＝2B；证证明明　　由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.证明题型二　和三角形面积有关的问题师生共研师生共研(2)若△ABC的面积S＝ ，求角A的大小.解答(1)对于面积公式                                    一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.思维升华思维升华答案√√解析(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝ ，则△ABC的面积是 .解析答案解析　解析　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.命题点命题点1　判断三角形的形状　判断三角形的形状典典例例 (1)在△ABC中， 则△ABC一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.无法确定又00，∴sin A＝1，即A＝ ，∴△ABC为直角三角形.解析答案√√1.本例(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状.引申探究引申探究解　解　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，∴sin(A－B)＝0.又A，B为△ABC的内角.∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形.解答2.本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状.又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形.解答命题点命题点2　求解几何计算问题　求解几何计算问题典例典例 (1)如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝ .解析答案(2)(2018·吉林三校联考)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 .解析答案(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 (1)(2018·安徽六校联考)在△ABC中， (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析答案√√解析答案审题路线图二审结论会转换审题路线图审题路线图规范解答课时作业1.(2017·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝ ，b＝3，A＝60°，则边c等于 A.1 B.2 C.4 D.6基础保分练12345678910111213141516解析　解析　∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).解析答案√√2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝ ，a＝2，b＝ ，则B等于 解析答案12345678910111213141516√√3.(2017·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝ AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为 ，则C等于 A.30° B.45° C.60° D.75°解析答案√√12345678910111213141516∴sin A＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.解析答案12345678910111213141516√√5.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为 解析　解析　因为sin A，sin B，sin C成等比数列，所以sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得b2＝ac，解析答案√√12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516√√7.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝ ，cos C＝ ，a＝1，则b＝ .解析答案123456789101112131415168.(2018·成都模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ ac，则角B的值为 .解析答案123456789101112131415169.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝ ，C＝ ，则△ABC的面积为 .解析答案1234567891011121314151610.(2018·长春质检)E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝ .解析答案1234567891011121314151611.(2018·珠海模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.(1)证明：sin B＝cos A；证明12345678910111213141516∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入a＝btan A得(2)若sin C－sin Acos B＝ ，且B为钝角，求A，B，C.解答1234567891011121314151612.(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为(1)求sin Bsin C；解答12345678910111213141516(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.解答12345678910111213141516由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，技能提升练解析答案12345678910111213141516√√14.(2018·大理模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝ bcos A.若a＝4，则△ABC周长的最大值为 .答案解析123456789101112131415161215.在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝ ，则BC＝ .拓展冲刺练答案解析12345678910111213141516916.(2018·贵阳质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－ )bc，sin Asin B＝cos2 ，BC边上的中线AM的长为 .(1)求角A和角B的大小；解答12345678910111213141516(2)求△ABC的面积.解答12345678910111213141516解　解　由(1)知，a＝b，在△ACM中，解得b＝2，本课结束。