三角函数纠错(精品).doc

第五章 三角函数纠错对于三角函数来说，传统数学忽视了如下三方面的问题其一，传统数学是将直角三角形的一个锐角作为自变量来定义三角函数的现在的问题是，直角三角形有两个锐角分别以该两个锐角为自变量来定义三角函数时，其结果完全相反，正弦变成了余弦，余弦变成了正弦；正切变成了余切，余切变成了正切其二，正弦函数是三角函数的主函数它的原形（曲线图像）是一个正园形而一般的数学教材都会将它变换成波浪形非常明显，正园形与波浪形的导函数是完全不同的，传统数学却没有关注到这一点其三，将正园形变换成波浪形，还存在一个变换比例的问题因此，现行高等数学一概而论，拢统的说正弦函数的导函数是余弦，这完全是错误的下面讨论上述三方面的问题，并给出与正弦函数原形和变形相关的微积分公式5-1 三角函数定义的完善这一节我们要重新审视三角函数的定义如下面图一所示，由直边a、横边b和斜边c组成一个直角三角形，它除有一个直角外，另有e、f两个锐角对于构成直 图一：三角函数定义示意图角的a、b两条边，我们称之为直角边；若以斜边c与直角边b的交角e为自变量，则，我们称直角边b为主直角边（传统数学称其是角e的邻边）；而另一条直角边a则称之为副直角边（传统数学称其是角e的对边）。

根据传统的三角函数定义，我们有：副直角边a除以斜边c称之为正弦函数，即sin e=；主直角边b除以斜边c称之为余弦函数，即cos e=；副直角边a除以主直角边b称之为正切函数，即tg e=；主直角边b除以副直角边a称之为余切函数，即ctg e=当然，我们也可以以角f为自变量不过，因为角f是由斜边c与直角边a构成的，所以，这时的主直角边变为a，而直角边b则变为副直角边；因此，根据上述定义，我们又有：副直角边b除以斜边c称之为正弦函数，即sin f=；主直角边a除以斜边c称之为余弦函数，即cos f=；副直角边b除以主直角边a称之为正切函数，即tg f=；主直角边a除以副直角边b称之为余切函数，即ctg f=为方便记忆和理解，现将三角函数以不同锐角为自变量的变化情况立表于下：三角函数自变量互换对照表以直角边区分以c和b构成的锐角为自变量以c和a构成的锐角为自变量正弦函数=副直角边除以斜边sin e=sin f=余弦函数=主直角边除以斜边cos e= cos f=正切函数=副直角边除以主直角边tg e= tg f=余切函数=主直角边除以副直角边ctg e=ctg f=需要补充说明的一点是，传统数学在定义三角函数时，针对定义角，将直角边区分为邻边与对边并没有错。

但是，在下面的证明中，对两个锐角进行区分，却是必要的所以，我们对两个锐角进行区分，并非多此一举5-2 正弦函数的原形及其相关的微积分公式如下面图二所示，在平面坐标系的第一像限内，由坐标系的交点作一个条射线r，在射线r上任取一点P，经点P作横坐标的垂直线a，这样一来，a、b（横坐标的一段）、c（射线r的一段） 图二：正弦函数示意图一三条线组成一个直角三角形，若以c、b的交角d为自变量，则b为主直角边，a为副直角边，根据上一节我们对三角函数的定义，副直角边除以斜边称之为正弦函数因此，由图二所确定的正弦函数sin d =根据传统数学的相关论述，三角函数的函数值与直角三角形的大小无关因此，我们不防令该直角三角形的斜边c的长度（即坐标交点到p的长度）为1这样一来，sin d=a这也就是说，当c=1时，点p到横坐标的垂直距离即角d的正弦值现在我们再来考虑，当角d=0时，射线r与横坐标负半轴重合，点p到横坐标的垂直距离为0，也就是sin 0=0当角d从0开始增长时，射线r将顺时钟方向旋转，根据园的定义，点P的轨迹为正园弧（如图三所示）这也就是说，正弦函数的原形是一个正园形对于该正园形的导函数，我们称之为正弦函数的原形导函数。

如图三所示，过p点作射线r的垂直线c显然，该垂直线c同时又是p点的园切线，该切线的斜率，也就是园弧p点的 说明：右图是由左图略去园而来图三：正弦函数示意图二导数非常明显，只要射线r与横坐标左半轴（b）的交角0＜d＜90°那么，c必定与横坐标（b边）和直坐标（a边）相交，构成一个直角三角形c作为这个三角形的斜边，它的斜率也就是该直角三角形的直边a除以横边b由此推论，正弦函数的原形导函数属于三角函数的切类函数至于它究竟是正切还是余切，这需要根据它的自变量是那一个锐角来确定如图三所示，除上述由a、b、c三条边组成的大直角三角形外，r、b、c三条边还组成了一个小直角三角形根据上述我们对正弦函数原形的相关设定，其自变量是该小三角形的锐角d那么，直角三角形abc的那一个锐角可以取代d作为自变量呢？我们首先来考虑锐角e当d=0时，射线r与横坐标左半轴（b）重合，因此，射线r的垂直线c也成为横坐标左半轴（b）的垂直线，根据三角形内角和定理，此时锐角e的角度为90，是一个直角当d从0开始增长时，e=90－d，锐角e的角度将隋着d的增长而变小当d从0增长到90时，e=90－90=0这也就是说，e的变化规律是由90变为0。

而正弦函数自变量的变化规律（即锐角d的变化规律）是从0增长到90因此，锐角e不能作为正弦函数的自变量当然也不能作为求正弦原形导函数的自变量现在再来考虑锐角f对于上述大小两个三角形来说，前者的两个锐角是e、f；后者的两个锐角是e、d根据三角形的内角和定理，任意三角形的内角和均为180度，上述两直角三角形都有一个直角，直角的角度为90度，故它们的两锐角之和均为90度又因为它们有一个共同角e，因此，我们有90－e=f；90－e=d故d=f因此，对于直角三角形abc来说，符合正弦函数自变量变化特征的锐角为f当我们以f为自变量时，a边为主直角边；b边为副直角边根据上述三角函数的定义，主直角边除以副直角边为余切至此，我们证明：正弦函数的原形导函数为余切因为正弦与余弦、正切与余切仅仅只是排列顺序互逆，所以，根据正弦函数的原形导函数为余切，我们又有余弦函数的原形导函数为正切因为微积分公式（即原函数与导函数）是互逆的，所以我们又有正切函数的积函数（积分公式）是余弦；余切函数的积函数（积分公式）是正弦5-3 独特的割线求导法求正弦原形导数的方法有多种，但这里所要介绍的是本人所独创的一种独特方法根据现行高等数学，任何变量任意点的变化速度（导数），都等于该变量曲线该点的切线斜率。

稍懂几何知识的人都知道，园弧的角度变化是均匀的因此，如图六所示，在园弧上任取图六：园弧割线与切线平行的示意图一点p，它两侧的园弧都是对称的因此，经该点p的园弧切线，与该点两侧园弧的角度变化也是对称的这也就是说，该点两侧园弧的所有对称点、与该点切线的垂直距离都是相等的即该点的切线与该点两则对称点的割线是平行的换句话说，就是二者的斜率相同因为园弧p点的切线斜率也就是园弧p点的导数，因此，园弧上任意两点的割线斜率都等于其中点的导数这就使得我们可以以求割线斜率的办法来求正弦的原形导数以本方法求正园弧的导数，有如下3方面的优点：1 可以避开高等数学求导的困境，所谓的“极限”；2 在计算数据带有测量或者舍入误差的情况下，可以通过选择距离较大的对称点进行计算来降低误差的引响3 在计算数据带有测量或者舍入误差的情况下，对于同一点的导数，我们可以根据不同的对称点计算出多个近似导数，以便进行校正其不足之处是，在计算0和180度的导数时，将出现分母为0的情况好在这两点的导数为正负无穷大（也可以认为是没有导数），无须进行计算下面具体介绍这种方法，并列出一些点的计算值与余切表值的对比情况如图七所示，设我们要求正园弧上p点的导数。

我们首先必须在p点的两侧选定p1、p2两个对称点所谓对称，即是使 p1与p、p2与p之间的距离相等如果是为了发挥上述2的优势，p1、p2之间的距离（即a+a）应尽可能的大，但不应超过180度（超过180度，p1、p2之间的距离反而会变小）确定了p1、p2两点之后，我们就可以开始求过p1、p2两点的割线（即图七右中三角形的斜边）斜率了现在，我们乃按现行高等数学的习惯，将p1、p2两点的横坐标之差（即图七右左 右图七：园弧求导示意图中三角形的横边b）称之为；将p1、p2两点的纵坐标之差（即图七右中三角形的直边a）称之为因此，p点的导数就等于即==现在，我们不防设p点的角度为45°p1的角度为15°即p1=p－30=45－30=15；p2的角度为75°即p2=p＋30=45＋30=75于是：= cos 15－cos 75=0.96592－0.25882=0.7071；= sin 75－sin 15=0.96592－0.25882=0.7071因此，sin 45的导数为===1答：正弦45°的导数为1（与余切45°的表值相符）下面再计算三例例题5-3-1：求sin 10°的导数？解：根据题意，p点的角度为10，根据计算的要求，我们将p点两侧的对称点p1、p2的角度确定为10－10=0；10＋10=20。

于是：= cos 0－cos 20=1.00000－0.93969=0.06031；= sin 20－sin 0=0.34202－0.00000=0.34202因此，sin 10°的导数为===5.67103答：正弦10°的导数为5.67103（余切10°的表值为5.6713，误差0.000027，该误差只需分母有0.00000287的误差便可造成所以，该误差没有超过舍入的误差范围）例题5-3-2：求sin 62°的导数？解：根据题意，p点的角度为62，根据计算的要求，我们将p点两侧的对称点p1、p2的角度确定为62－22=40；62＋22=84于是：= cos 40－cos 84=0.76604－0.10453=0.66151；= sin 84－sin 40=0.99452－0.64279=0.35173因此，sin 62°的导数===0.53171答：正弦62°的导数为0.53171（与余切62°的表值相符）例题5-3-3：求sin 90°的导数？解：根据题意，p点的角度为90，根据计算的要求，我们将p点两侧的对称点p1、p2的角度确定为90－90=0；90＋90=180因为0～180°有两个90°的自变量，故：= 2×cos 0－2×cos 90=2×1－2×0=2；= sin 180－sin 0=0－0=0。

因此，sin 90°的导数===0答：正弦90°的导数为0（与余切90°的表值相符）下面是按以上方法求得的一些正弦原形导数计算值与余切表值对照表供读者审核时对比参考正弦原形导数计算值与余切表值对照表（1）正弦度0.511.522.53计算值116.3357.21338.20428.59022.87419.075余切表值114.5957.29038.18828.63622.90419.081计算减表1.74-0.0770.016-0.046-0.030-0.006表中计算值以p1为0°、p2依次以1、2、3。