高等数学16 极限存在准则 两个重要极限.ppt

第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限1. 1. 夹逼准则夹逼准则一、极限存在准则准则准则 如果数列 及 满足下列条件:那么数列 的极限存在，且 .时，有准则准则 如果当那么存在, 且等于A.准则 1和准则 1 称为夹逼准则夹逼准则.对x结论也成立.【例1】设有界，即当，其中 M 为一与x 无关的常数.证明：证由夹逼准则知：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小. .对x结论也成立.【例2】解由夹逼准则得2. 2. 单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:准则准则 单调有界数列必有极限（必收敛）.（单调增有上界，单调减有下界）【例3】证明数列极限存在，且等于 e = 2.718281 n 10 100 1000 10000 100000 1000000 xn 2.593742 2.704813 2.716923 2.718145 2.718268 2.718280 证 (1)(1) 利用二项式公式将和展开，然后逐项比较. 利用二项式公式 , 有大大 大大 正正比较可得：单调增数列 e 为无理数.根据准则知数列有极限 ，记此极限为 e，又又有上界1.首先注意到设法构造一个“夹逼不等式”，使函数在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数 g(x), h(x) 之间，以便应用夹逼准则 .二、两个重要极限证 如右图，在半径为R的圆中 设圆心角 又不等式各端除以 ，得或而由夹逼准则，得，或当 ，当 ，作变量代换 ， 综上有：【例4】解 原式=【例5】 求 解解【例6】【例7】 求解于是先证 x+2.再证 x-令 t =- x， x = - t，当 x -，t +，所以极限四则运算法则和两个重要极限应用说明：极限四则运算法则和两个重要极限应用说明：（1）求极限首先要看清楚 x 的变化趋势；（2）求函数极限时，要掌握“变量形式不变”的原则，如果变量不一样，可用变量代换等手段对变量进行替换，或对函数进行变形、凑项等等对函数进行化简，然后用四则运算或两个重要极限求极限；（3）极限存在的项，可先分解出来，直接求极限.变量不一样，作变量代换或凑项，令 ，当 时， 所以 【例8】解或变量不一样.令 ，当 时， 所以 【例9】求数列极限解解【例10】【例11】求解 令u = -2x，x=u/(-2)，当 x0，u0.解【例12】【例13】求解令当令当解，求a .【例14】【例15】求解【例16】求解【例17】求解【例18】设在 x=0 处极限存在，求 k .解作业 习题1-6 P.521.（1）（2）（5）（6）2.4.（1）（2）（3）（4）准则 设函数 f (x) 在点 x0 的某个左邻域内单调并且有界，则 f (x) 在点 x0 的左极限 必定存在. 相应于单调有界数列必有极限的准则，函数极限也有类似的准则. 对于自变量的不同变化过程，准则有不同的形式. 如 时相应的准则如下.*柯西极限存在准则柯西极限存在准则 数列xn收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在正整数 N，使得当 m N，n N 时，有思考题思考题求极限思考题解答思考题解答三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限(推广推广)夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .思考题思考题解解 原式原式(1)求极限求极限(2)求极限求极限解解 原式原式=解解故故，从而，从而(3)设设，求，求k一、填空题一、填空题:练练 习习 题题二、求下列各极限二、求下列各极限:练习题答案练习题答案【例例1616】证明：证：证：作如图所示的单位圆（R=1）当：时：两端乘以（-1）令 u = -x （u 0）当：时：0 0，即数列下有界，又当n增大到 n+1 a 后，有xn xn+1 ，即到 n+1 a 后，数列为单调减下有界数列，所以极限存在。

设其极限为A，即：【例例4 4】证明证证 当n 1时， ，令 ，于是 按牛顿二项式公式展开有所以，由于根据夹逼准则得【例例3131】证明：证：证：设【例例2424】解解先变形再求极限.说明：说明：求极限时，若遇到等差数列，或等比数列，可先使用求和公式先求和，以简化运算 .【例例2323】设求：解解不存在；【例3】设解 设 a b由夹逼准则得：所以：a求注： 此结论可推广到【例9】解【例例1818】求【例例1919】求解解 为变量， 是常数.解 原式令：【例13】求解1解2【例16】求解【例18】则 a =（ ）A. -2B. 2C. 0D. 1解B直接试算！直接试算！解【例11】【例3】证又(负的舍去)求极限. 设极限为A。