第1课时 均值不等式学习目标 1.理解均值不等式的内容及证明．2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一 算术平均值与几何平均值对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值，两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．知识点二 均值不等式常见推论1．均值定理如果a，b∈R＋，那么≥．当且仅当a＝b时，等号成立，以上结论通常称为均值定理，又叫均值不等式．均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．2．常见推论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab．( √ )2．n∈N＋时，n＋≥2．( √ )3．x≠0时，x＋≥2．( × )4．a>0，b>0时，＋≥．( √ )题型一 常见推论的证明例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab．引申探究1．求证≥(a＞0，b＞0)．证明 方法一 －＝[()2＋()2－2·]＝·(－)2≥0，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．方法二 由例1知，a2＋b2≥2ab．∴当a＞0，b＞0时有()2＋()2≥2，即a＋b≥2，≥．2．证明不等式2≤(a，b∈R)．证明 由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以4，即得2≤，当且仅当a＝b时，取等号．反思感悟 (1)作差法与不等式性质在证明中常用，注意培养应用意识．(2)不等式a2＋b2≥2ab和均值不等式≤成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．跟踪训练1 当a＞0，b＞0时，求证：≤.证明 ∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2＞0，∴≤，∴≤＝．又∵＝，∴≤(当且仅当a＝b时取等号)．题型二 用均值不等式证明不等式例2 已知x，y都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明 (1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，即＋≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0，∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．反思感悟 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②同向不等式相加是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明 ∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0，∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．题型三 用均值不等式比较大小例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )A．x＝ B．x≤C．x＞ D．x≥答案 B解析 第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2．依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，b＞0，x＞0，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，∴1＋x≤＝1＋，∴x≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．反思感悟 均值不等式≥一端为和，一端为积，使用均值不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3 设a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg，则P，Q，R的大小关系是( )A．R0，∴lg＞lg＝(lga＋lgb)，即R＞Q．②综合①②，有P>>b B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>答案 C解析 ∵0a＋b，∴b>>．∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a．故b>>>a．2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1>2xC．≤1 D．x＋≥2答案 C解析 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立；对于C，x2＋1≥2x，∴≤1成立．故选C．3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )A．> B．2，故＝>．4．lg9×lg11与1的大小关系是( )A．lg9×lg11>1 B．lg9×lg11＝1C．lg9×lg11<1 D．不能确定答案 C解析 ∵lg 9>0，lg 11>0，∴lg 9×lg 11<2＝2＝2<2＝1，即lg 9×lg 11<1．5．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a； ②≥4；③(a＋b)≥4； ④a2＋9>6a．其中恒成立的是________．(填序号)答案 ①②③解析 由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；由于a＋≥2，b＋≥2，∴≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；由于a＋b≥2，＋≥2，故(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．综上，恒成立的是①②③．1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b．2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．一、选择题1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|答案 A解析 ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．2．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C．＋> D．＋≥2答案 D解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，显然错误；对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立．3．对于a＞0，b＞0，下列不等式中不正确的是( )A．＜＋ B．ab≤C．ab≤2 D．2≤答案 A解析 当a＞0，b＞0时，因为≤，所以≤＋，当且仅当a＝b时等号成立，故A不正确；显然B，C，D均正确．4．设f(x)＝lnx,0pD．p＝r>q答案 B解析 因为0．又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f>f()，即p答案 D解析 a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；∵a＋b≥2，且a，b∈(0，＋∞)，∴≤1，≤，当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．6．下列说法正确的是( )A．若x≠kπ，k∈Z，则min＝4B．若a<0，则a＋≥－4C．若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2D．若a<0，b<0，则＋≥2答案 D解析 对于A，x≠kπ，k∈Z，则sin2x∈(0,1]．令t＝sin2x，则y＝t＋，函数y在(0,1]上单调递减，所以y≥5，即sin2x＋≥5，当sin2x＝1时，等号成立．对于B，若a<0，则－a>0，－>0．∴a＋＝－≤－4，当且仅当a＝，即a＝－2时，等号成立．对于C，若a∈(0，1)，b∈(0，1)，则lga<0，lgb<0，不等式不成立．对于D，a<0，b<0，则>0，>0，∴＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．二、填空题7．设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则logat________loga.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)答案 ≤解析 ∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)，∴y＝logax是增函数，又≥，∴loga≥loga＝logat．8．设a，b为非零实数，给出不等式：①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2．其中恒成立的不等式是________．答案 ①②解析 由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．9．已知a＞b＞c，则与的大小关系是____________________________．答案 ≤解析 因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．10．设a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝log。
