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几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或屡次折叠通常出现"一线三直角〞的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 但凡在几何图形中出现"折叠〞这个字眼时，第一反响即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【根底篇】一、选择题：1. .〔2021•**•3分〕如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是〔　　〕A． AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=2. 〔2021〕如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．假设将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片〔形状同阴影图形〕面积之和为〔 〕．A．36π-108 B．108-32π C．2π D．π3. 〔2021〕如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于〔　　〕A． B． C． D．4. 〔2021··3分〕如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．EF=，则BC的长是〔　　〕A． B．3 C．3 D．35. 〔2021乌鲁木齐〕如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，假设矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为〔　　〕A．1 B． C．2 D．二、填空题：6. 〔2021·省市〕如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别段AC.AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7. 〔2021·威海·8分〕如图，将矩形ABCD〔纸片〕折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8. 〔2021·省·3分〕如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB=．三、解答与计算题：9. 〔2021··7分〕如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．〔1〕求证：△ADE≌△CED；〔2〕求证：△DEF是等腰三角形．10. 〔2021•枣庄•10分〕如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．〔1〕求证：四边形EFDG是菱形；〔2〕探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；〔3〕假设AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11. 〔2021·省市〕如图，将等腰直角三角形ABC〔∠B=90°〕沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，则线段AE的长度为( )．A．4　　　　　　B．5　　　　　C．6　　　　　D．712. 〔2021·省·3分〕如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为〔　　〕A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．413. 〔2021·省·3分〕如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．假设⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是〔　　〕A． B．C． D．二、填空题：14. (2021·省市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的部，将BF延长交AD于点G．假设=，则=．15. 〔2021··3分〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形点F处，以下结论正确的选项是〔写出所有正确结论的序号〕①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.〔2021·省·11分〕在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．〔1〕如图1，假设点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；〔2〕如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17. 〔2021··7分〕如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．〔1〕求证：△ADE≌△CED；〔2〕求证：△DEF是等腰三角形．18. 〔2021••10分〕如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将 沿 翻折后得到 .〔1〕试说明点 在 上； 〔2〕段 的延长线上取一点 ，使 .求证： 为 的切线； 〔3〕在〔2〕的条件下，分别延长线段 、 相交于点 ，假设 ， ，求线段 的长. 【探究篇】19. 〔2021年省市•12分〕对给定的一矩形纸片ABCD进展如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上〔如图①〕，再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合〔如图②〕〔1〕根据以上操作和发现，求的值；〔2〕将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置一样的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．〔不需说明理由〕20. 〔2021年省宿迁〕如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上〔点M不与点A、D重合〕，点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=*，〔1〕当AM= 时，求*的值； 〔2〕随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化.如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值； 〔3〕设四边形BEFC的面积为S，求S与*之间的函数表达式，并求出S的最小值. 几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或屡次折叠通常出现"一线三直角〞的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 但凡在几何图形中出现"折叠〞这个字眼时，第一反响即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【根底篇】一、选择题：1. .〔2021•**•3分〕如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是〔　　〕A．AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．应选：C．【点评】此题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. 〔2021〕如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．假设将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片〔形状同阴影图形〕面积之和为〔 〕．A．36π-108 B．108-32π C．2π D．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影局部面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×〔3π﹣9〕=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．应选A3. 〔2021〕如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于〔　　〕A． B． C． D．【考点】PB：翻折变换〔折叠问题〕；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=*，则FC=*，FD=6﹣*，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于*的方程*2=42+〔6﹣*〕2，解方程求出*．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF〔AAS〕，∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=*，则。