立体几何中的向量方法（最全）课件.ppt

3.2立体几何中的向量方法- 方向向量与法向量一 立体几何中的向量方法lAP直线的方向向量 换句话说换句话说, ,直线上的非零向量直线上的非零向量叫做叫做直线的直线的方向向量方向向量一、方向向量与法向量2、平面的法向量、平面的法向量AlP 换句话说换句话说, ,与平面垂直的与平面垂直的非零向量非零向量叫做平面叫做平面的的法法向量向量oxyzABCO1A1B1C1例1. 如图所示, 正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0) 练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中点，的中点， 求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系解：如图所示建立空间直角坐标系.xyz设平面设平面EDB的法向量为的法向量为 因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系.用向量方法解决几何问题二、立体几何中的向量方法二、立体几何中的向量方法平行关系平行关系ml一一. 平行关系：平行关系：例例2 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形是正方形, PD 底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的中点，的中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：求证：AE/FG.ABCDPGxyzFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG证明证明 ：如图所示：如图所示, , 建立空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，则/AE与与FG不共线不共线例例3 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD 底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中点，中点， 求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDPExyzG解解1 立体立体几何法几何法ABCDPExyzG证法证法2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1连结连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EGABCDP PE EXYZ证法证法3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原为坐标原点，设点，设DC=1，设平面设平面EDB的法向量为的法向量为ABCDP PE EXYZ解解4：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1证明：证明：解得解得 x,三、立体几何中的向量方法三、立体几何中的向量方法垂直关系垂直关系垂直关系：垂直关系：lm练习练习 棱长为棱长为a 的正方体的正方体 中中, ,E、F分别分别是棱是棱AB, ,OA上的动点，且上的动点，且AF= =BE, ,求证：求证： OCBAOAB CEFzxy解：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.则例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证 MNCD ,MNAB.证1:几何法证2： 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，设AB=2.则xyZxy例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD的中点分别是M、N,求证 MNCD ,MNAB.lABCABCDPEFxyz证法2：如图所示，以点D为原点建立空间直角坐标系，设DC=1.A1D1B1ADBCC1yzEF 练习练习P107 1P107 1，正方体，正方体中，中，E、F分分别别是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F平面平面ADE. 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则则所以所以x 证明：证明：, ,E是是AA1 1中点，中点，例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD. 求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系A-xyz，则则又平面又平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是平面平面C1 1BD. 平面平面EBDxyzB1A1C1BACDED1 证明证明2：几何法：几何法, ,E是是AA1 1中点，中点， 例例4 4 正方体正方体平面平面C1 1BD. 求证：求证：平面平面EBDB1A1C1BACDED1ABCDPxyzG证法一：几何法证法二：向量法ABCDPxyzG四立体几何中的向量方法四立体几何中的向量方法夹角问题夹角问题夹角问题：夹角问题：lmlm解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：所以 与 所成角的余弦值为夹角问题：夹角问题：llA1xD1B1ADBCC1yzEF解法解法2（向量法）（向量法）:如图所示，以如图所示，以D为原点建立空间直角坐为原点建立空间直角坐标系标系D-xyz.则则 C（1,0,0）A（0,1,0）A1xD1B1ADBCC1yzEF夹角问题：夹角问题：ABCDPEFxyzG例例3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧棱侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的中点，作的中点，作EF PB交交PB于点于点F. 求二面角求二面角C-PB-D的大小的大小.五立体几何中的向量方法五立体几何中的向量方法距离问题距离问题距离问题：距离问题：(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A、B两点，两点， 直线直线AC、BD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, , 已知已知AB4,4,AC6 6，BD8 8，求，求CD的长的长. . BACD解1：几何法 练习练习.(P107.2).(P107.2)如图，如图，6060的二面角的棱上的二面角的棱上有有A、B两点，两点， 直线直线AC、BD分别在这个二面角的分别在这个二面角的两个半平面内两个半平面内, ,且都垂直且都垂直AB, , 已知已知AB4,4,AC6 6，BD8 8，求，求CD的长的长. . BA CD解1：向量法距离问题：距离问题：(2) 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求点的中点，求点E到直线到直线A1B的距离的距离.点点E到直线到直线A1B的距离为的距离为距离问题：距离问题：(3) 点点P与平面与平面的距离为的距离为d , 则则d 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离. 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求B1到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法解解2 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离. 解解1: D1C 面面A1BE D1到面到面A1BE的距离即为的距离即为D1C到面到面A1BE的距离的距离. 仿上例求得仿上例求得D1C到到 面面A1BE的距离为的距离为 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求的中点，求D1C到面到面A1BE的距离的距离.等体积法等体积法解解2距离问题：距离问题：(4) 平面平面与与的距离为的距离为d , 则则mDCPA 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 解解1: 面面D1CB1 面面A1BD D1到面到面A1BD的距离即的距离即 为面为面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离等体积法等体积法解解2 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离.解解3 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求面，求面A1DB与面与面D1CB1的距离的距离. 例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离. 1 . 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，求点，求点A1与面与面D1CB1的距离的距离. 2. 在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.。