立体几何中的向量方法3.doc

空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：教学过程：一复习引入1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量与非零向量是否ba共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量共线向量．向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ.称平面向baba量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量共线向量或平行向量．平行向量．平行于记作//．abab2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量空间任意两个向量、、（（≠0≠0）） ，，////的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数abbabλλ，使，使＝＝λλ. .ab理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0） ，则有aba＝＝，，其中是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数，，使＝＝（baba≠0） ，则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不aababab在（或）上）.ba⑵对于确定的和，＝＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0 时abaaa与同向，当=,则a b  A （的范围为 ）②设11( ,)ax y，22(,)bxy则a b  A 注：①a b A 不能写成ab，或a b②a b A 的结果为一个数值2）投影：b在a方向上的投影为 3）向量数量积运算律：①a bb a  AA ②()()()a ba bab  AAA ③()ab ca cb c   AAA注：①没有结合律()()a b ca b c    A AA A( (二）例题讲练二）例题讲练1、下列命题：①若0a b  A，则a，b中至少一个为0②若a0且a ba c  AA ，则bc③()()a b ca b c    A AA A ④22(32 ) (32 )94abababA中正确有个数为 （ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个2、已知ABC中，A，B，C 所对的边为 a,b,c，且 a=3,b=1,C=30°,则BC CA   A= 。

3、若a，b，c满足0abc，且3,1,4abc，则a bb ca c   AAA = 4、已知2ab，且a与b的夹角为3，则ab在a上的投影为 考点二：向量数量积性质应用考点二：向量数量积性质应用(一一)、知识要点：、知识要点：①0aba b A（用于判定垂直问题）②2aa（用于求模运算问题）③cosa ba b A  （用于求角运算问题）( (二二) )例题讲练例题讲练1、已知2a ，3b ，且a与b的夹角为2，32cab，dmab ，求当 m为何值时cd 2、已知1a ，1b ， 323ab，则 3ab3、已知a和b是非零向量，且a=b=ab，求a与ab的夹角4、已知4a ，2b ，且a和b不共线，求使ab与ab的夹角是锐角时的取值范围 巩固练习巩固练习1、已知1e和2e 是两个单位向量，夹角为3，则（12ee ）12( 32)ee A等于（ ）A.-8 B. 9 2C. 5 2 D.82、已知1e和2e 是两个单位向量，夹角为3，则下面向量中与212ee 垂直的是（ ）A. 12ee B. 12ee C. 1eD. 2e 3、在ABC中，设ABa，BCb，CAc，若0)( baa，则ABC（ ）)(A 直角三角形 )(B 锐角三角形 )(C 钝角三角形 )(D 无法判定4、已知a和b是非零向量，且3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直，求a与b的夹角。

5、已知OA 、OB 、OC是非零的单位向量，且OA +OB +OC=0，求证：ABC为正三角形3.1.43.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示教学要求：教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．教学重点：教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．教学难点：教学难点：理解空间向量基本定理．教学过程：教学过程：一、新课引入1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，2. 复习：平面向量基本定理.二、讲授新课1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的两个a向量和，使. 如果时，这种分解就是平面向量的正交分解. 11a 22a 1122aaa  12aa  如果取为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，则存在一对实数12,a a   , i j x、y，使得，即得到平面向量的坐标表示.axiy j( , )ax y推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解空间向量的正交分解：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、a11a 、，使. 如果两两垂直，这种分解就是空间向量的22a 33a 112233aaaa   123,,a a a     正交分解. (2)空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任, ,a b c  一向量，存在有序实数组，使得. 把p { , , }x y zpxaybzc 叫做空间的一个基底（base） ，都叫做基向量. { , , }a b c  , ,a b c  2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为 1，则这个基底叫做单位正交基底单位正交基底，通常用｛i i,j j,k k｝表示．单位——三个基向量的长度都为 1；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点O和一个单位正交基底｛i i,j j,k k｝ ，以点O为原点，分别以i i,j j,k k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyz，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a a，且设i i、j j、k k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使a a＝i i＋j j＋k k．123(,,)a a a1a2a3a空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A，B111( ,,)x y z，则＝－＝－＝222(,,)xyzABOBOA222(,,)xyz111( ,,)x y z ．212121(,,)xx yy zz4. 向量的直角坐标运算：设a a＝，b b＝，则123(,,)a a a123( ,,)b b b⑴a a＋b b＝； ⑵a a－b b＝；112233(,,)ab ab ab112233(,,)ab ab ab⑶λa a＝； ⑷a a·b b＝123(,,)aaa()R1 1223 3a ba ba b证明方法：与平面向量一样，将a a＝i i＋j j＋k k和b b＝i i＋j j＋k k代入即1a2a3a1b2b3b可．5. 两个向量共线或垂直的判定：设a a＝，b b＝，则123(,,)a a a123( ,,)b b b⑴a a//b ba a＝λb b，；112233,,ab ab ab()R312123aaa bbb⑵a a⊥b ba a·b b=0．1 1223 30a ba ba b6. 练习：已知a a＝，b b＝，求a a＋b b，a a－b b，8a a，a a·b b．解：略．(2, 3,5)( 3,1, 4)7. 出示例：课本P94 例 4 . （解略）三、巩固练习 作业：课本P94 练习 2、3 题 .3.1.53.1.5 空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）教学要求：教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．教学重点：教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：教学难点：夹角公式、距离公式的应用．教学过程：教学过程：一、复习引入1. 向量的直角坐标运算法则：设a a＝，b b＝，则123(,,)a a a123( ,,)b b b⑴a a＋b b＝； ⑵a a－b b＝；112233(,,)ab ab ab112233(,,)ab ab ab⑶λa a＝； ⑷a a·b b＝123(,,)aaa()R1 1223 3a ba ba b上述运算法则怎样证明呢？（将a a＝i i＋j j＋k k和b b＝i i＋j j＋k k代入即1a2a3a1b2b3b可）2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ）二、新课讲授⒈ 向量的模：设a a＝，b b＝，求这两个向量的模.123(,,)a a a123( ,,)b b b｜a a｜＝，｜b b｜＝．这两个式子我们称为向量的长度公向量的长度公222 123aaa222 123bbb式式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．2. 夹角公式推导：∵ a a·b b＝|a a||b b|cos＜a a,b b＞∴ ＝··cos＜a a,b b＞1 1223 3a ba ba b222 123aaa222 123bbb由此可以得出：cos＜a a,b b＞＝1 1223 3222222 123123a ba ba baaabbb这个公式成为两个向量的夹角公式两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当 cos＜a a、b b＞＝1 时，a a与b b同向；当 cos＜a a、b b＞＝－1 时，a a与b b反向；当 cos＜a a、b b＞＝0 时，a a⊥b b．3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，，则111( ,,)A x y z222(,,)B xyz，其中表示A与B两点间的距离．222 211212()(。