函数的极限无穷小无穷大极限运算法则.ppt

主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是 否与一常数无限接近,即形如： 函数的极限 第三节第一章 本节内容：定义与性质一、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 时函数极限的定义 引例. 描述性定义（粗略地）：设函数在 附近（去心）有定义：当 无限接近于 时 的值无限接近于一个常数 ，称 为 当 时的极限 定义1 . 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当 时, 有若记作极限存在 函数局部有界 (P36定理2) 这表明: 几何解释:例1. 证明证:故对任意的当时 , 因此总有例2. 证明证:故取当时, 必有因此例3. 证明证:（分析：欲使取则当时, 必有因此只要即 ）不妨令 ，要使得只要 即可，练习. 证明: 当证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有2. 保号性定理定理1 . 若且 A > 0 ,证: 已知即当时, 有当 A > 0 时, 取正数则在对应的邻域上( 0 ,一切满足的 x , 总有称函数当时为无穷大 。

使对①类似可定义(正数 X ) ,总存在注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! （P42. Ex 6） 例如, 函数但不是无穷大 !例 . 证明证: 略见P40若 则直线为曲线的铅直渐近线 .铅直渐近线说明:三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系Th13. 无穷小与无穷大的关系Th2练习P42 ex 1 , 5P42 题*3 提示:作业 P42 4 (1) ; 8第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节极限运算法则时, 有一、 无穷小运算法则定理1. 证: 由定义得设 则当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 .例如，( P56 题 4 (2)；P49 题1（12））见课件注：Th1 1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .2. 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设又设即当时, 有 .取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设又设即当时, 有 .取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .练习 . P31 Ex 5推论 2说明 ： 无限个无穷小的乘积未必是无穷小 .例1. 求 P48. 例8解: 利用定理 2 可知说明 : y = 0 是的渐近线 .二、 极限的四则运算法则则有证: 因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 3-1 . 若推论: 若且则( P46 定理 5保号性 )利用保号性定理证明 .说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示: 令为无穷小定理 3-2 若且 B≠0 , 则有证: 因有其中 设由极限与无穷小关系定理 , 结论可得。

因此  为无穷小, 定理 3-2 . 若则有说明: 定理 3-2 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 .( C 为常数 )推论 2 .( n 为正整数 )例2. 设 n 次多项式试证证:定理 3-3 若且 B≠0 , 则有证: 略见P44；或者见本课件最后一页定理4 若则有提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .（已经在第二节讲过）例3. 设有分式函数其中都是多项式 ,试证: 证: 说明:1. 不能直接用商的运算法则，如例4、例5要先化简，或者通过求倒数的极限 若例5 . 求 解:x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 ,例4.x = 3 时分母为 0 !例6 . 求解: 分子分母同除以则“ 抓大头”原式一般有如下结果：为非负常数 )( 如 P47 例5 )( 如 P47 例6 )( 如 P47 例7 )三、 复合函数的极限运算法则 定理5. 设且 x 满足时,又则有证: 略 当 时, 有当时, 有对上述取则当时故①因此①式成立.定理5. 设且 x 满足时,又则有说明: 若定理中则类似可得例7 . 求解: 方法 1则令∴ 原式方法 2内容小结1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法( 要求分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3-1 Th3-2 Th3-3Th5练习题1.是否存在 ? 为什么 ?答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件矛盾.解:原式2.问3. 求解法 1 （分子有理化）原式 =解法 2 （换元） 令则原式 =作业P49 1 (3)，(5)，(7)，(9), (14)2 (2)3 (2)5思考题 1. 设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故2. 试确定常数 a 使解 :令则故因此为无穷小(详见书P44)定理 3-3 证明证:有其中设 无穷小有界由极限与无穷小关系定理 , 得因此  为无穷小, 注。