人教版 高中数学 选修22练习：第1章 导数及其应用1.4.doc

2019学年人教版高中数学选修精品资料第一章 1.4A级　基础巩固一、选择题1．(2017·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　C　)A．8 B．C．－1 D．－8[解析]　瞬时变化率即为f ′(x)＝x2－2x为二次函数，且f ′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f ′(x)min＝－1.2．(2017·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20 cm，要使其体积最大，则高为(　D　)A． cm B．cmC．cm D．cm[解析]　设圆锥的高为x cm，则底面半径为(cm)，其体积为V＝πx(202－x2)(00，当0，∴r＝是其唯一的极值点．∴当r＝时，V取得最大值，最大值为()3π.6．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3︰4，那么容器容积最大时，高为(　A　)A．0.5m B．1mC．0.8m D．1.5m[解析]　设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.二、填空题7．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__25__件. [解析]　设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝.总利润y＝500－x3－1200(x>0)，y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．8.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为__1︰1__.[解析]　设窗户面积为S，周长为L，则S＝x2＋2hx，h＝－x，∴窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，∴L′＝＋2－.由L′＝0，得x＝，x∈时，L′<0，x∈时，L′>0，∴当x＝时，L取最小值，此时＝＝－＝－＝1.三、解答题9．(2016·成都高二检测)成都某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6).(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．[解析]　(1)由条件可得解得a＝－，b＝1，则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，则T′(x)＝＋－＝－，令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，∴当x＝50时，T(x)取最大值．T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．10．如图所示，设铁路AB＝50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？[解析]　设MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋，令p′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0≤x<时，p′(x)<0；当0，所以当x＝时，取得最小值．即在离B点距离为的点M处筑公路至C时，由A至C的货物运费最省．B级　素养提升一、选择题1．(2016·长沙高二检测)若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为(　A　)A．2πR2 B．πR2C．4πR2 D．πR22．(2016·威海高二检测)一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(　C　)A． B．C． D．2[解析]　设圆的半径为x，记矩形高为h，则窗户的面积为S＝＋2hx，∴2h＝－x.则窗户周长为l＝πx＋2x＋2h＝＋2x＋.令l′＝＋2－＝0，解S＝或－(舍)因为函数只有一个极值点，所以x＝为最小值点，所以使窗户的周长最小时，圆的半径为，故C．二、填空题3．(2016·沈阳高二检测)某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为__0.032__.[解析]　用y表示银行的收益，由题可知存款量是kx2，银行应付的利息为kx3，银行应获得的贷款利息为0.048kx2.∴y＝0.048kx2－kx3，x∈(0,0.048)y′＝0.096x－3kx2＝3kx(0.032－x)令y′＝0，解x＝0.032或x＝0(舍)当00，当0.0320，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以x＝是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．6．甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析]　(1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q＝＝－＋6000　(0，∴60，因此，f(x)在(6,50]上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，f′(x)<0，因此，f(x)在[50，＋∞)上是减函数．∴x＝50为极大值点．当≥50，即t∈(，]时，投入50万元改造时取得最大增加值；当6<<50，即t∈(，＋∞)时，投入万元改造时取得最大增加值．。