专题8.4直线、平面平行的判定及其性质(讲)(原卷版)43028.pdf

专题 8.4 直线、平面平行的判定及其性质 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 知识点一 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α， l⊄α，∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行) ∵l∥α， l⊂β， α∩β＝b，∴l∥b 知识点二 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b (1)应用线面平行判定定理的注意点：在推证线面平行时，一定要强调直线 a 不在平面内，直线 b在平面内，且 a∥b，否则会出现错误． (2)应用线面平行性质定理的注意点：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面． (3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别：如果结论中有 a∥α，则要用判定定理，在 α 内找与 a 平行的直线；如果条件中有 a∥α，则要用性质定理，找(或作)过 a 且与 α 相交的平面．  应用定理证明有关平行问题时，一定要满足定理的前提条件． (4)面面平行判定定理的一个推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝O′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 【知识必备】 1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． 3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 5．同一条直线与两个平行平面所成角相等． 6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 考点一 与线、面平行相关命题的判定 【例 1】【2019 年高考全国Ⅱ卷】设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是( ) A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行 C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面 【举一反三】【2019 年高考北京卷】已知 l，m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m； ②m∥； ③l⊥． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【举一反三】（一中 2019 届高三模拟）(1)在空间中，a，b，c 是三条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A.若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b B.若 a⊂α，b⊂β，α⊥β，则 a⊥b C.若 a∥α，b∥β，α∥β，则 a∥b D.若 α∥β，a⊂α，则 a∥β (2)下列四个正方体中，A，B，C 为所在棱的中点，则能得出平面 ABC∥平面 DEF 的是( )  【方法技巧】 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项. 2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确. 【变式 1】（贵州凯里一中 2019 届高三模拟）(1)下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 (2)在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q 分别是棱 D1C1，A1D1，BC 的中点，点 P 在 BD1上且BP＝23BD1，则下面说法正确的是________(填序号). ①MN∥平面 APC；②C1Q∥平面 APC；③A，P，M 三点共线；④平面 MNQ∥平面 APC. 考点二 直线与平面平行的判定与性质 【典例 2】（陕西西安中学 2019 届高三质检）如图所示，斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 D，D1分别为AC，A1C1的中点．求证： (1)AD1∥平面 BDC1； (2)BD∥平面 AB1D1.  【方法技巧】线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，从而证明直线与平面平行． (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 【变式 2】 （四川树德中学 2019 届高三模拟）如图，四棱锥 P-ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H 分别是线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点．求证： (1)AP∥平面 BEF； (2)GH∥平面 PAD. 考点三 面面平行的判定与性质 【典例 3】（广西柳州高级中学 2019 届高三模拟）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 【方法技巧】证明面面平行的常用方法 (1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明． 【变式 3】（广东中山一中 2019 届高三模拟）如图所示，在四棱锥 E-ABCD 中，△ABD 为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M 为线段 AE 的中点，求证：DM∥平面 BEC. 考点四 平行关系的综合应用  【典例 4】【2019 年高考天津卷】如图，AE 平面ABCD，,CFAEADBC∥∥，,1,2ADABABADAEBC． （1）求证：BF ∥平面ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （3）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长． 【举一反三】（湖北荆州中学 2019 届高三模拟）如图所示，平面 α∥平面 β，点 A∈α，点 C∈α，点 B∈β，点 D∈β，点 E，F 分别段 AB，CD 上，且 AE∶EB＝CF∶FD. (1)求证：EF∥平面 β； (2)若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC＝4，BD＝6，且 AC，BD 所成的角为 60°，求 EF 的长． 【方法技巧】利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决． 【变式 4】（河南省实验中学 2019 届高三模拟）如图所示，四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面 EFGH，CD∥平面 EFGH； (2)若 AB＝4，CD＝6，求四边形 EFGH 周长的取值范围． 。