线性系统理论第三章(3).doc
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95§3—3 多变量系统的实现3—3—1 动态方程的可控、可观性与传递函数矩阵的关系 设多变量系统动态方程为(3—46)xABuyCx=+=&其中 分别是 的实常量矩阵，其传递函数矩阵为ABC,,npqn´´(3—47)IG()()adjs-式中 称为系统的特征式传递函数矩阵 是一个严格真有理函数阵，即它的每Is- ()一元素都是 的有理函数，且分母的阶次严格高于分子的阶次在第一章中已对有理函数矩阵的极点、零点作了定义现利用极点多项式的概念研究多变量系统最小实现问题设 的每一个元素都是既约的 的有理函数并设G()ss()ranksr=定义 3—1 有理函数矩阵 称为真(严格真) 有理函数阵，如果 GD0lim()()s=→∞定义 3—2 的极点多项式中 的最高次数称为 的麦克米伦阶，用记号 表示G()ss() sd对例 1—7，显然 5d=定理 3—9 若(3—47)式中， 的特征式与 之间没有非常数公因式，则系统ACIAB()adjs-(3—46)是可控、可观的本定理中的条件是系统可控可观测的充分条件而不是必要条件，这点与单变量系统不同，可用以下例题来说明例 3—7 设系统方程为 xuyu1010éùéùêúêú=+=ëûëû&显然系统可控且可观，但传递函数阵为 G21010())ssséùêúéù--êú==ëûëû在 A 的特征式与 之间存在公因式 ，故定理中的条件不是必要的。
CIAB()adj-()-定理 3—10 系统(3—46)可控可观测的充分必要条件是 的极点多项式等于 A 的特征多G(s项式例 3—8 设系统动态方程为 xxuyu0101102éùéêúêéùêú=+=- ëû-ëûë&96其特征多项式为 系统的传递函数阵为2(1)s+G1())()sséùêú+=-ëû相应的极点多项式为 ，可知系统动态方程是可控可观的G()s2(1)s+极点多项式和麦克米伦阶的概念以及定理 3—9 和定理 3—10，对于构造 的最小动G()s态方程实现是基本的这些概念和定理也是单变量情况相应概念的推广任一真有理函数矩阵 总可分解为 ，其中 为严格真有理函数阵所G1()sD()s+()s以这里只讨论严格真有理函数阵如何用动态方程来实现的问题3—3—2 向量传递函数的实现 (1) 行分母展开时，得可观标准形最小实现例 3—9 2233(1)(1)sséù++êúëû解 ABC32354604(1)001754019200sséùéù++êúêúûë- éù===êúêúêúëû-ëûëû(2) 列分母展开时，得可控标准形最小实现例 3—10 22(1)(3)(1)4Tsséù+êú+ëû解43250801711254ssséùéùéùêúêúêú++ëûëûëûABC01000821711024530éùéêúêùú==ëû--ëû注意：因为 的诸元素已是既约形式，故行分母(列分母) 的次数就是麦克米伦阶，所构Gs97造的实现一定是最小实现。
这点和标量传函一样3—3—3 传递函数矩阵的实现可以将矩阵 分成列(行)，每列(行) 按列(行)分母展开以 2 列为例说明列展开时的Gs做法，设第 列展开所得的可控形实现为 ，可按以下方式形成 ，i AbC,ii ABC,00AB111222,éùéùêúêúéù===êúëûëûëû这一实现是可控的，并可计算出上述实现的传函阵为 G()sIA0bCIABCIIIIAbIA1112 2211122(() ()()()ssssb-- ---- -éùéêúùê=úëûëûéù=êúëû同理，可以将 分成行，每行按行分母展开以 2 行为例说明行展开时的做法，设第 iG()s行展开所得的可观形实现为 ，可按以下方式形成Bc,ii BC,0c0A111222,,éùéùêúêú==ëûëû这一实现是可观的，并可计算出上述实现的传函阵为 G()s1c0IA0BCIABIIcIcIAB11 12 211221122(() ()()()()ssss-- ----éùùéêúúê=ëûëûéùêú=ëû定理 3—11 严格真有理函数阵 的一个动态方程实现为G()(3—48) xuyCx+=&其中矩阵 可用如下方法构造。
ABC,(1) 按行分母展开的可观形实现将 写成下列形式G()s98(3—49)NG12()()()()qsdsdéùêú=êúëûM式中 是 第 i 行的最小首一公分母(),1,2)idsq=L(s110) ,i iinniiidasas-=++L第 行的分子可以写成 次 的多项式，其系数为 维常数行向量G()i i p构造如下矩阵 作为 的可观形实现：ABC,G()s(3—50)BcCAc111222qéùéùêúêú==ëûëûOMO(3—51)NIABc00111 1100i iii ini inni aa- --éùéù-êúêú==êúêúëûëûéùLML(3—51)式中 表示 维行向量iin(2) 按列分母展开的可控形实现将 写成下列形式G()s(3—52)NNG12()()() pssddéùêú=ëûL上式中的 是 第 列的最小首一公分母()idsi 110() ,i iinniiisasas-++第 列的分子可以写成 次 的多项式，其系数为 维常数列向量G()i i qNNN1210() ,i ii inniii --=L构造如下矩阵 作为 的可控形实现ABC,Gs(3—53)bBCC112212pppéùéùêúêúéù===êúëûëûëûLOO99(3—54)IA,b,CN1 0110 1i iin iii ii niiaa- --éùéêúêù==úëû- ûëMMLL式(3—54)中的 表示 维的列向量。
特别注意：式(3—50)和式(3 —53)中采用的记号相同，ibi但含义是不同的例 3—11 给定有理函数阵为 G13()2séùêú+=-ëû试用行展开和列展开构造 实现)s解 采用行展开方法，将 写成GNNN2211 20 0113()()()43,()3,,, ,sddséùéù+êúúëû=--û+=+éùéùéùéù=-=-êúêúêúêúëûëûëûëû按(3—51)式，可得可观性实现如下 ABC3314101,,02-êúêúéùêú===--ëûëûëû容易验证这一实现是可观的但不是可控的直接计算可知 ，而 阵的维数是G()3sdA4，由定理 3—10 可知，该实现一定不可控要得到可控可观的实现，可以对此四阶实现进行可控性分解，进而得到一个三阶的实现但如果用列展开方法，就可以得到可控可观的实现，做法如下：将 写成G()s=[ ]()123()séùéùêúêú+--ëûëûNN21221 001(),()56,,,3dsdséùùéêúúê=+=+==---ëûûë由(3—48)式可构成如下的实现100ABC110120,,365éùéù-êúêúéùêú==--ëû-ëûëû这是可控性实现，它也是可观的，因而是 的最小阶实现。
显然，在本例中一开始就应G()s选择列展开方法这是因为各列分母次数之和为 3，小于各行分母次数之和 4如果不论行展开或列展开都不能得到最小阶实现，那么利用可控性分解或可观性分解进一步降低系统的阶次就是不能少的了定理 3—12 若 有理函数阵 可表成下列形式 其中 互不相qp´()sR1()()rssiiil-=åil同， 常数矩阵Ri´为 G1()riiankd=å证明 设 ，将 进行满秩分解，即 ，其中 阵，niirak=Ri CBiii=´iinq´为， 的最小阶实现为 ， 其Ciirank=BB,,/()ii iiiiprsl´ +为 阵 构 成 (AC,)ii中 是 的对角矩阵，对角元为 再用直和的方式构成：Aiii´ ilABC112212,, rrréùéêúêù==úëûëûLOM利用若当形判据易证这一实现 是 的最小实现，其维数为 ，故所证命ABC(,)G(sR1riiank=å题成立定理 3—12 给出了一种通过满秩分解来构造最小实现的方法例 3—12 给定 11()2)34sséùêú++=ëûG求 的最小实现G()s解 经计算可知 ，若按行分母展开或按列分母展开均得到六阶实现。
现用定理()5sd3—12 的方法做101G1111()22) 3434000001111124ssssssssséùéùêúêú-++++==ëûëûù ééù-ú êêú+êêúêúúû ëëûé=ë0011134sséùù+-+ëûûùêúêú+û的一个最小实现为G()ABC0011102,,340éùéùêúêú- -éùêú===ëû-ëûëû3—3—4 组合结构的状态空间实现在实际问题中常常遇到下列形式的组合结构1，串联方式一： 图 3—1 串联结构图一2，串联方式二：图 3—2 串联结构图二3，并联方式： 图 3—3 并联结构图4，反馈结构：图 3—4 反馈结构图设 的状态空间实现为 ，其中 分别是 ,G()is(ABCD,)(1,2)iii=ABCD,ii iin´, , 的矩阵下面将分别给出这些组合结构的一个状态空间实现和相应的iinp´iqip´传递函数阵，并同时说明 应满足的条件iinq1，串联方式一(见图 3—1)：传函为 ，这意味着yGu2112qp=u v yG1 G2u v yG2 G1u y1yuuy2G1(s)G2(s) ywvu G1(s)G2(s)102实现为：G1 xABuvCD11=+&实现为：2xxuyv222121=+=+串联方式一的实现为： xAxBuBCDyD1122210éùùéùêúúêú=+ëûûëû&2，串联方式二(见图 3—2)：传函为 ，这意味着Gu12=21qp=实现为：GxABvCD2+&实现为：1xxuyv=111212++串联方式二的实现为： xABCxDuyD11212220éùùéùêúúêú+ëûûëû=&例 3—13 给定系统 G:xABuyCx+Du1,=+=&其中， 均为适当维数的实矩阵，其共轭系统定义为ABCD(,):zv,z+v2TTg=-+=求其串联方式二的状态空间实现解：串联方式二的状态空间实现实现为： xABxDuzz0CyCTTéùéùêúêú=+-ëûëû&1033，并联方式(见图 3—3)：传函为 ,这意味着 ，G12+12p=12q实现为：G1 xABuyD11=+&C实现为：2 xABuyCD22=+&实现为：G12+12xAxBuyCD+1220()éùéùêúêú=ëûëû&4，传递函数求逆实现为：G1 xABuyD11=+&C当 为非奇异矩阵时，传递函数 的逆 的实现为：D1 G1-xABxyuD111()---=+&C例 3—14 求下图反馈连接的状态实现图 3—5 反馈结构图其中 实现为：G1 xABywD11=+&C解 由结构图可知 ，故yu=+xAByxywDu=111ì ìï ïÞí í-+î î&Cywu G1(s)104xAB(ID)xB(ID)uy=(I)xu11111- --ìï++Þíî&C传递函数矩阵为 。
yIGu1()-=5，反馈结构(见图 3—4)：这意味着 ,2qp=1q实现为：G1 xABvyCD11=+&实现为：2xBywCD22=+&A由反馈结构可知 ，故vu=+wCxDyx(vx[CD(uw)22121) ]+从而 ICD)212121()(-=-+因此 xABvyyCD(uw)x[x()]AB[FCDxu)]{[uCD)]}yCxD11221122111212221121((ì+ïíï=îìïÞ++íïî= ++&&[ ]xBFIF) xIF)uuxABC11222121211122( (ìïí +ïîìïÞ=í +。
