齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构参考课件.ppt

4.5 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构定理8 设A为sn矩阵, 则齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件为rAn.证明：对A进行列分块，则AX=0的向量表示形式为 其有非零解的充要条件是线性相关, 充要条件是rA=A的列秩=齐次线性方程组解的性质： 性质1 设X1, X2为齐次线性方程组AX=0的解，c为常数，则 (1) X1+X2仍为AX=0的解；(2) cX1仍为AX=0的解.证明: (1) A(X1+X2)=AX1+AX2=0+0=0;(2) A(cX1)=cAX1=c0=0; 更一般地，齐次线性方程组AX=0解的任意线性组合仍为解, 即:若X1, X2, .,Xr为AX=0的解, 则 k1X1+k2X2+.+krXr也为AX=0的解, 其中ki(i=1, 2,.,r)为任意数. 由上述性质知: 齐次线性方程组的解集合关于向量的加法, 数乘构成一个线性空间, 称为齐次线性方程组的解空间(space of solutions). 为了表示齐次线性方程组的所有解，现引入基础解系的概念. 定义12 向量组X1, X2, .,Xt 称为AX=0的一个基础解系(basis set of solutions), (1) X1, X2, ., Xt 皆为AX=0的解；(2) X1, X2, ., Xt 线性无关； (3) AX=0的任意解皆可由X1, X2, ., Xt 线性表出. 若 X1, X2,., Xt 为AX=0的一个基础解系，由基础解系的定义知如果 正好就是AX=0的解集合, 称 k1X1+k2X2+.+ktXt 为AX=0的通解.例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系 解：对系数矩阵进行初等行变换化为Jordan阶梯形矩阵.Jordan阶梯形 现解AX=0的同解齐次线性方程组BX=0. Jordan阶梯形B有3行不为零，故rB=3， 首元所在的列为B的第1,2,3列, 故对x4, x5的任意值代入BX=0都能解出x1, x2, x3. 把BX=0的含x4, x5的项移到等式右边得到令x4=1, x5=0, 解得令x4=0, x5=1, 解得相同位置上添加3个分量得到的, 于是也线性无关.线性无关, 而X1, X2是在 设 X=(c1 c2 c3 k1 k2)T 则 Xk1X1k2X2=(d1 d2 d3 0 0)T 这就推出 d1=d2=d3=0, 为BX=0的任意解,也是BX=0 的解.于是, X=k1X1+k2X2. 定理9 设A是sn矩阵, rA=r n, 则齐次线性方程组AX=0存在基础解系, 且基础解系含nr个解向量. 证明：A可经过一系列初等行变换化为Jordan阶梯形矩阵B, 显然B的前r行为非零行, 后sr行全为零. 不失一般性, 可假设aii=1(i=1,2,.,r), 即： 未知量xr+1, xr+2,., xn(都不在首元所在的列)称为自由未知量. BX=0为AX=0的同解方程组.令自由未知变量 代入BX=0可解得从而为BX=0的一个解. 再令自由未知变量xr+1, ., xn的值分别为(0,1,.,0), ., (0,0,.,1), 代入BX=0可解得BX=0的解X2, X3, .,Xnr, 于是得到为AX=0的一组线性无关的解，要证明它正好为AX=0的一个基础解系，只需证明AX=0的任意解即BX=0的任意解可用X1,X2,.,Xnr 线性表示. 设X=(c1, ., cr , cr+1,., cn)T为AX=0 (BX=0)的任意解，则为BX=0的解，代入BX=0得到这堆出di=0(i=1,2,.,r), 于是 综上， X1,X2,.,Xnr为AX=0的一个基础解系.说明：上述定理的证明过程实际上就是求解齐次线性方程组的步骤.例 解线性方程组解:用基础解系表达的所有解为 自由未知量为x3，x4, 分别代入值(1,0),(0,1)得到方程组的一个基础解系： 推论 设齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A为sn矩阵，若rA=rn, 则(1) AX=0的每一个基础解系都含有(2) nr个解；(2) AX=0的任意nr+1个解向量线性 相关；(3) AX=0的任意nr个线性无关的解 都是一个基础解系. 证明：设X1,X2,.,Xnr (I)为AX=0的一个基础解系.(1) 设 (II)为AX=0的任意一个基础解系, 则(I)与(II)皆线性无关且可相互线性表出, 故t=nr;(2) AX=0的任意nr+1个解可由含nr个向量的(I)线性表出, 故线性相关；(3) 设 (III)为AX=0的任意(4)线性无关的解, 为AX=0的任意解, 则(5) 线性相关，于是 可(6)由(III)线性表出，故(III)为AX=0的一个(7)基础解系. 此外, 与AX=0一个基础解系等价的任意线性无关向量组也是AX=0的基础解系.(P85.Q2.) 例3 设A为sn矩阵, B为nm矩阵, AB=0, 则 rA+rBn. 分析：nrA是齐次线性方程组AX=0的基础解系所含向量个数，故可考虑利用齐次线性方程组的解的问题来证明.解：对B和0 sm矩阵进行列分块由AB=0，利用分块矩阵的乘法得：于是 为AX=0的解.这就有若rA=n, 则AX=0只有零解, 故B=0,显然, rB=0=nrA;若rA=rn, 则AX=0有基础解系X1,Xnr,于是，可由X1,Xnr线性表出,则例(P85.Q3)设A为n(n2)阶方阵, 证明:证明: (1) 若rA=n，则A是一个满秩矩阵，即|A|0. 又AA*=|A|E，所以所以A*也为满秩矩阵，即是(2) 若rAn1, 则知所有的n1阶子式全部为零，所以A的余子式也为零，从而A*=0，也即 (3) 若rA=n1, 则可知|A|=0，所以AA*=|A|E=0, 根据前面的例题可知所以因为A中至少有一个n1阶子式不为零.所以 但 。