2022年高二数学 9.2空间的平行直线与异面直线(第四课时)大纲人教版必修.doc

2022年高二数学 9.2空间的平行直线与异面直线(第四课时)大纲人教版必修●教学目标(一)教学知识点1.余弦定理的应用.2.异面直线所成的角.(二)能力训练要求1.会求异面直线所成的角.2.培养学生的空间想象能力,分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力.3.使学生初步掌握将空间图形问题转化为平面问题的数学思想.（三）德育渗透目标渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.●教学重点异面直线所成角的计算.●教学难点余弦定理在求异面直线所成角中的应用.●教学方法师生共同讨论法●教具准备投影片四张.第一张：本课时教案例1及图（记作9.2.4 A）第二张：本课时教案例2及图（记作9.2.4 B）第三张：本课时教案的课堂练习（记作9.2.4 C）第四张：本课时教案后面的预习内容及提纲（记作9.2.4 D）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］请同学们回忆异面直线所成角的定义及范围.［生］过空间任意一点O,与异面直线a和b分别平行的直线所在的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.两条异面直线所成角的范围是(0,〕.［师］这节课我们继续研究两条异面直线所成角的计算.Ⅱ.新课讨论(打出投影片9.2.4 A)［例1］已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,N为B1B的中点,求A1M与C1N所成的角(如图所示).［师］求异面直线所成的角,关键是选择恰当的点.根据两条异面直线所成角的定义,通过平移找到两条异面直线所成的角.［生甲］先取A1B1的中点E,连结BE,则BE∥A1M.再取EB1的中点F,连结FN,则FN∥BE.∠C1NF即为A1M与C1N所成的角.在△C1FN中,由勾股定理可得C1N=BE=a,FN=BE=a,C1F=a,由余弦定理得cosC1NF==∴∠C1NF=arccos.［生乙］当BE∥A1M后,也可取C1C的中点G,连结BG,则BG∥C1N,∠EBG即为A1M与C1N所成的角.在△EBG中,BE=BG=,EG2=EC12+C1G2=a2,得EG=a.由余弦定理得cosEBG==∴∠EBG=arccos.(教学中教师注意引导学生体会求两条异面直线所成角的方法与步骤)［师］以上过程明确了求两条异面直线所成角的三个步骤:1.根据两条异面直线所成角的概念作出所成的角;2.找出这个角所在的三角形;3.解这个三角形.要注意在求作这个角时,一次平移不行时,要用两次平移的方法;在解角所在的三角形时,常用余弦定理求之.再看一例(打出投影片9.2.4 B).［例2］在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=c,AB=a,AD=b,且a>b,求AC1与BD所成角的余弦值.［师］如何根据异面直线所成角的定义及长方体的有关性质,作出AC1与BD所成的角呢?［生丙］取AC1的中点O1,B1B的中点G,则∠C1O1G为AC1与BD所成的角.［生丁］连结AC,设AC∩BD=O,则O平分AC,取C1C的中点F,连结OF,则∠FOB为AC1与BD所成的角.［生戊］延长CD至点E,使ED=DC,则ABDE为平行四边形,AE∥BD,则∠EAC1为AC1与BD所成的角.［师］这三位同学用不同的方法作出了AC1与BD所成的角,但要注意,这时作出的角有可能是异面直线所成的角,也可能是异面直线所成角的邻补角.在图中并没有办法判断,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦值的正负来判断这个角是锐角(两异面直线所成角)或钝角(两异面直线所成角的邻补角).请同学们将以上三种方法的解题思路表述出来.(学生整理,教师查看,指导)解法一:取AC1的中点O,B1B的中点G,在△C1O1G中,∠C1O1G为AC1与BD所成的角.(如上图)∵O1GOB,C1GBF,O1C1=AC1,又∵O1C1=,O1G=,C1G=,由余弦定理,得cosC1O1G==.解法二:连结AC,设AC∩BD=O,则点O平分AC.取C1C的中点F,连结OF,则OF AC,∠FOB为AC1与BD所成的角.在△FOB中,OB=,OF=,BF=.由余弦定理,得cosFOB=.解法三:延长CD到点E,使ED=DC,则ABDE为 ,AE∥BD,∠EAC1即为AC1与BD所成角的补角.连结EC1,则在△AEC1中,AE=,AC1=,C1E=.由余弦定理,得cosEAC1==<0.∴∠EAC1为钝角.依两条异面直线所成角的定义,得AC1与BD所成角的余弦值为.Ⅲ.课堂练习（打出投影片9.2.4 C）如图ABCD与ABEF为有公共边但不共面的矩形,它们的面积之和为25 cm2,AD=2 cm,AF=3 cm,△ADF的面积为 cm2,求:（1）AD与BE所成的角；（2）AD与BE的距离.解：据题意,得S矩形ABCD+S矩形ABEF=AD·AB+AF·AB=(AD+AF)AB=5AB=25,∴AB=5,S△ADF=AD·AFsinDAF=×2×3·sinDAF=3sinDAF=.∴sinDAF=.∴∠DAF=45°.(1)∵AF∥BE,∴∠DAF为AD与BE所成的角.又∠DAF=45°,∴AD与BE所成的角是45°.（2）∵AB⊥AD,AB⊥BE（矩形）,∴AB是AD与BE的公垂线段.又AB=5 cm,∴AD与BE间的距离是5 cm.Ⅳ.课时小结本节课我们一起讨论了求异面直线所成角的几个例子,目的是通过举例,让同学们明确求角的关键是通过平移法将两异面直线所成的角转化成相交线所成的角,这种转化的思想我们应该重视,化难为易、化繁为简、化生疏为熟悉、化空间问题为平面问题,这种转化的思想无处不在.Ⅴ.课后作业（一）补充题1.A是△BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点,（1）若EF=AD,求异面直线AD和BC所成的角；（2）若EF=AD,求异面直线AD和BC所成的角.解：设G是AC的中点,连结EG、FG.∵E、F分别是AB、CD的中点,∴EG∥BC且EG=BC,FG∥AD且FG=AD.∵AD=BC,∴EG=FG=AD.∴GE与GF所成的锐角（或直角）为AB、CD所成的角.（1）若EF=AD,则在△EFG中,有cosEGF===0.∴∠EGF=90°,即AD与BC所成的角为90°.（2）若EF=,则在△EFG中,有cosEGF===－.∴∠EGF=120°,其补角为60°.∴AD与BC所成的角为60°.2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,O、M分别是D1B、AA1的中点.（1）求证：MO是AA1和BD1的公垂线；（2）若正方体的棱长为a,求异面直线AA1和BD1的距离.（1）证明：∵M是AA1的中点,∴MD1=MB.又O是BD1的中点,∴MO⊥BD1.同理由A1O=AO,得MO⊥AA1.∴MO是AA1、BD1的公垂线.（2）解：OM==,∴AA1与BD1间的距离是a.（二）1.预习课本P132.预习提纲（1）反证法是怎样的一种推理方法？（2）反证法证题的步骤是什么？●板书设计9.2.4 空间直线（四）例1 例2 例3 练习 小结。