2014·新课标全国卷2(理科).doc

2014新课标全国卷(理科数学) 1A12014 新课标全国卷 设集合 M0，1，2，Nx|x23x20，则 MN( ) A1 B2 C0，1 D1，2 1D 解析 集合 N1，2，故 MN1，2 2L42014 新课标全国卷 设复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则 z1z2( ) A5 B5 C4i D4i 2A 解析 由题知 z22i，所以 z1z2(2i)(2i)i245. 3F32014 新课标全国卷 设向量 a，b 满足|ab| 10，|ab| 6，则 a b( ) A1 B2 C3 D5 3A 解析 由已知得|ab|210，|ab|26，两式相减，得 4a b4，所以 a b1. 4C82014 新课标全国卷 钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC( ) A5 B. 5 C2 D1 4B 解析 根据三角形面积公式，得12BABCsin B12，即121 2sin B12，得 sin B22，其中 CA.若 B 为锐角，则 B4，所以 AC1221 2221AB，易知 A 为直角，此时ABC 为直角三角形，所以 B 为钝角，即 B34，所以 AC1221 222 5. 5K72014 新课标全国卷 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A0.8 B0.75 C0.6 D0.45 5A 解析 设“第一天空气质量为优良”为事件 A，“第二天空气质量为优良”为事件 B，则 P(A)0.75，P(AB)0.6，由题知要求的是在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，根据条件概率公式得 P(B|A)P（AB）P（A）0.60.750.8. 6G22014 新课标全国卷 如图 1- 1，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图 1- 1 A.1727 B.59 C.1027 D.13 6C 解析 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为32222434(cm3)，原毛坯的体积为32654(cm3)，切削掉部分的体积为 543420(cm3)，故所求的比值为20541027. 7L12014 新课标全国卷 执行如图 1- 2 所示的程序框图，如果输入的 x，t 均为 2，则输出的 S( ) 图 1- 2 A4 B5 C6 D7 7D 解析 逐次计算，可得 M2，S5，k2；M2，S7，k3，此时输出 S7. 8 B112014 新课标全国卷 设曲线 yaxln(x1)在点(0， 0)处的切线方程为 y2x，则 a( ) A0 B1 C2 D3 8D 解析 ya1x1，根据已知得，当 x0 时，y2，代入解得 a3. 9E52014 新课标全国卷 设 x，y 满足约束条件xy70，x3y10，3xy50，则 z2xy 的最大值为( ) A10 B8 C3 D2 9B 解析 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点 A(5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为 2528. 10H7、H82014 新课标全国卷 设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( ) A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 10 D 解析 抛物线的焦点为 F34，0 ， 则过点 F 且倾斜角为 30的直线方程为 y33x34，即 x 3y34，代入抛物线方程得 y23 3y940.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y23 3，y1y294，则 SOAB12|OF|y1y2|1234（3 3）249494. 11G32014 新课标全国卷 直三棱柱 ABC- A1B1C1中，BCA90，M，N 分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 11 C 解析 如图， E 为 BC 的中点 由于 M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点， 故 MNB1C1且 MN12B1C1，故 MN 綊 BE，所以四边形 MNEB 为平行四边形，所以 EN 綊 BM，所以直线AN，NE 所成的角即为直线 BM，AN 所成的角设 BC1，则 B1M12B1A122，所以 MB11262NE，ANAE52， 在ANE 中，根据余弦定理得 cos ANE645454262523010. 12E3、C42014 新课标全国卷 设函数 f(x) 3sinxm，若存在 f(x)的极值点 x0满足x20f(x0)2m2，则 m 的取值范围是( ) A(，6)(6，) B(，4)(4，) C(，2)(2，) D(，1)(1，) 12 C 解析 函数 f(x)的极值点满足xm2k， 即 xmk12， kZ， 且极值为 3，问题等价于存在 k0使之满足不等式 m2k01223m2.因为k122的最小值为14， 所以只要14m234， 解得 m2 或 m0 的解集为(2，2)，若 f(x1)0，则2x12，解得1x3. 16C8、C92014 新课标全国卷 设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0的取值范围是_ 161，1 解析 在OMN 中，OM 1x201ON，所以设ONM，则 45135.根据正弦定理得1x20sin 1sin 45， 所以 1x20 2sin 1， 2， 所以 0 x201，即1x01，故符合条件的 x0的取值范围为1，1 17D1、D3、D52014 新课标全国卷 已知数列an满足 a11，an13an1. (1)证明an12是等比数列，并求an的通项公式； (2)证明1a11a21an32. 17解：(1)由 an13an1 得 an1123an12. 又 a11232，所以an12是首项为32，公比为 3 的等比数列，所以 an123n2，因此数列an的通项公式为 an3n12. (2)证明：由(1)知1an23n1. 因为当 n1 时，3n123n1， 所以13n1123n1，即1an23n113n1. 于是1a11a21an11313n132113n32. 所以1a11a21an0)，则 C(m， 3，0)，AC(m， 3，0) 设 n1(x，y，z)为平面 ACE 的法向量， 则n1AC0，n1AE0，即mx 3y0，32y12z0， 可取 n13m，1， 3 . 又 n2(1，0，0)为平面 DAE 的法向量， 由题设易知|cosn1，n2|12，即 334m212，解得 m32. 因为 E 为 PD 的中点， 所以三棱锥 E- ACD 的高为12.三棱锥 E- ACD 的体积 V1312 3321238. 19 I42014 新课标全国卷 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程， 分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b错误错误! !，错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !. 19解：(1)由所给数据计算得 t17(1234567)4， y17(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3， 错误错误! !(ti错误错误! !)(yi错误错误! !)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614， b错误错误! !错误错误! !0.5， a ybt4.30.542.3， 所求回归方程为y0.5t2.3. (2)由(1)知，b0.50，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元 将 2015 年的年份代号 t9，代入(1)中的回归方程，得y0.592.36.8， 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元 20H5、H8、H102014 新课标全国卷 设 F1，F2分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN| 5|F1N|，求 a，b. 20解：(1)根据 c a2b2及题设知 Mc，b2a，2b23ac. 将 b2a2c2代入 2b23ac， 解得ca12，ca2(舍去) 故 C 的离心率为12. (2)由题意知，原点 O 为 F1F2的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0，2)是线段 MF1的中点，故b2a4，即 b24a. 由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|. 设 N(x1，y1)，由题意知 y10，g(x)0. (ii)当 b2 时，若 x 满足 2exex2b2，即 0 xln(b1 b22b)时，g(x)0.而 g(0)0，因此当 0 xln(b1 b22b)时，g(x)0，ln 28 23120.692 8； 当 b3 241 时，ln(b1 b22b)ln 2， g(ln 2)322 2(3 22)ln 20， ln 218 2280，有 f(x)x1a|xa|x1a（xa） 1aa2，所以 f(x)2. (2)f(3)31a|3a|. 当 a3 时，f(3)a1a， 由 f(3)5 得 3a5 212. 当 0a3 时，f(3)6a1a，由 f(3)5 得1 52a3. 综上，a 的取值范围是1 52，5 212. 。