小波变换课件ch3多分辨分析与正交小波的构造.ppt

第三章第三章 多分辨分析与多分辨分析与正交小波的构造正交小波的构造3.1 多分辨率分析多分辨率分析3.1.1 的小波空间分解l如果有一个正交小波，它的二进尺度伸缩平移函数族 将构成中的正交规范基l进而任何函数 可以展开为二重求和的小波级数: l进而有l 是信号 中含有的以第j级小波的平移函数族为基的展开式, 可简称为 的第 j 级小波分量 l第j级小波空间l如果 是正交小波，则 l 的小波空间分解理论上是完美的， 实践中是行不通的 ※小波级数的双重无限和难以实现l无穷级数表达式是否有可能用有限求和范围作近似处理？ ※ k 表征平移位置，只须在有限范围内取值 ※ j 对应信号的某一频率范围，在正整数域中取值的上界总是有限的，在负整数域中取值至-∞ 是不可避免的 lJ 级尺度空间l尺度空间的性质 ※潜套性 ※完备性 ※稠密性 ※互补性 ※尺度性质3.1.2 尺度空间的定义和性质逼近性l尺度函数 如果函数 的平移族是空间V0的Riesz基 则称 为一个尺度函数。

l目标：下式成立 (3.1.13)l定理: 如果 是 空间的Riesz基,并且它和小波函数 存在如下关系 则式(3.1.13)成立二尺度关系l具有潜套性，完备性，稠密性，互补性， 尺度性质的空间序列{ }称为由尺度 函数 生成的一个多分辨率分析(MRA) l对于一幅图像，量化级数决定了图像的分辨率，量化级数越高，图像就越清晰，即图像的分辨率高对于任意一幅图像，都可以用不同的量化空间来表示，细节比较丰富的部分用高分辨率来表示，细节比较单一的部分可用低分辨率来表示l 我们可以将不同的量化级数构成的空间看成不同的多分辨空间Vj，显然这些量化空间是相互嵌套的，从图像处理的角度，多分辨空间的分解可以理解为图像的分解，假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成量化空间Vj中的图像，则 可理解为Vj空间中的图像有一部分保留在Vj-1空间中，还有一部分放在Wj-1空间VjWj-1Vj-1小波空间是两个相邻尺度空间的差，也就是说空间Wj包含了函数f投影到尺度空间Vj与Vj-1间的细节差别，因此小波空间有时又称为细节空间。

3.1.3 基于正交尺度函数和小波函数的分解 为了生成一个MRA，在小波函数已经确定的情况下，需要构造与之对应的尺度函数反之，如果已知尺度函数， 则需要构造与之对应的小波函数 MRA中特殊情况：l正交尺度函数l正交小波函数l小波函数与尺度函数正交l在上述前提下，小波级数可改写为V0空间Vj空间3.2 正交小波构造的理论基础正交小波构造的理论基础l二尺度关系的频域表达＝1尺度函数完全由二尺度关系中的序列{hk}确定l从信号处理的角度，h是与(t)对应的低通滤波器， g是与(t) 对应的高通滤波器l{h，g}既可以表示为时域上的离散序列形式 {hk，gk}kZ，也可以表示为频域上的2周期函数{h()，g()}两者本质上是一样的lRiesz条件的频域表达（定理) 如果函数 满足Riesz条件 那么 满足下列不等式， 反之亦然l定理 的平移族 构成空间 的 正交规范基的必充条件是l推论 根据定理和3.3, 可推出如下结论: 如果 是尺度空间 的Riesz基，那么由 所确定的函数 的平移族 是同一尺度空间的正交规范基。

lPoisson公式利用Poisson公式可以得到部分定理的证明l定理 平移族是 的正交规范基的充要条件 是 满足l定理 当 ， 有l定理 小波函数 的平移族能够张成 在 空间中正交补 的充要条件是它对应的 满足 构造正交小波的基本条件 l定理 在 满足构造正交小波的基本条件(3.2.11) ，取 （3.2.16) 则(3.2.13)和(3.2.14)式成立l推论 (3.2.16)式等价于 尺度函数尺度函数 与小波函数与小波函数 的对比的对比l定义：l时域二尺度关系：l频域二尺度关系l系数之和l递推关系l频域初值正交尺度函数的构造正交尺度函数的构造尺度空间的Reisz基正交尺度函数性质？性质？问题问题:不是不是 的规范正交基的规范正交基. 目标目标: 构造一个小波构造一个小波,使使构成构成的规范正交基的规范正交基. 正交小波函数的构造正交小波函数的构造令令,则则的标准正交基的标准正交基. 是是构成构成的标准正交基。

的标准正交基即即是一个小波是一个小波 是一个正交小波是一个正交小波 MRA时域求解过程：时域求解过程：频域求解过程：频域求解过程：构造正交小波的方法构造正交小波的方法3.3 B_样条函数样条函数lm 阶B_样条函数可由递推定义为 B_样条函数的基本性质：l 非负性l紧支撑lFourier变换l整数节点上的值之和为1l微分性质l插值公式l对称性质以m/2为对称中心平移m/2l B_样条函数的尺度函数性质 定理 是 中的Riesz基 3.4 利用利用B_样条函数构造正交小波样条函数构造正交小波 l从B_样条函数的正交化入手, 可按如下步骤构造正交小波函数 ：Step1 利用正交化公式计算 ,并进行IDFT得……M=8;Nm=zeros(M,M+1);%行表示m次样条，列表示整数k:0~MNm(2,2)=1;for m=3:Mfor k=2:M Nm(m,k)=(k-1)*Nm(m-1,k)/(m-1)+(m-k+1)*Nm(m-1,k-1)/(m-1); %此处系数k减1是因为第k列代表得是整数k－1endend……Nm = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5000 0 0 0 0 0 0 0 0.1667 0.6667 0.1667 0 0 0 0 0 0 0.0417 0.4583 0.0417 0 0 0 0 0 0.0083 0.2167 0.5500 0.2167 0.0083 0 0 0 0 0.0014 0.0792 0.4194 0.0792 0.0014 0 0 0 0.0002 0.0238 0.2363 0.4794 0.2363 0.0238 0.0002 0Step2 求 和Step3 求 和Step4 求正交小波函数IFT3.5 紧支撑正交小波的构造紧支撑正交小波的构造 l非严格意义上的紧支撑小波一方面会引入误差，另一方面也使分解和重构的计算量比较大。

lDaubechies于1988首先实现了紧支撑正交小波的构造，其基本思路就是沿图左侧所示的途径 预备定理预备定理l定理 对于任何一个实的余弦多项式 总可以分解为 和 的乘积，这里 是一个实系数的关于 的多项式l定理 存在唯一的一对阶次不高于N-1的多项式 和 ，使 成立并且这一对多项式满足 l定理 上式唯一的阶次不高于N-1的多项式解是 （）l构造紧支撑小波的步骤：Step1 对于选定的正整数N，由(3.5.14)式得到相 应的 ； Step2 再利用欧拉公式将它转化为含 的各次幂的多项式，然后以 代换得到相应的Z多项式 ； Step3 对 求根并按预备定理所述的方法对 作因式分解，再用 代换得到 ；Step4 最后利用公式 得到一个能满足正交条件的 。

3.6 利用序列利用序列 计算计算 的的迭代算法迭代算法 Step1 选择某一函数 作为迭代算法的初始函数，该函数满足 Step2 利用下式获取Step3 返回step2，直至迭代收敛，即得Step4 l定理 当序列 的长度为L ＋1时， 它对应的尺度函数 的支撑区间长度为L 且序列 的长度也是L ＋1，对应的小波函数 也是紧支撑的，且支撑区间的长度也是L 。