2021年考研线性代数知识点归纳.docx

精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑1. n 行列式共有n 2 个元素，开放后有1 ， 行 列 式n. 项，可分解为 2n 行列式；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2. 代数余子式的性质：名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑①， Aij 和 aij的大小无关；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑②，某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；ijij③，某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑3. 代数余子式和余子式的关系：4. 设 n 行列式 D ：M ij( 1)i j AAij( 1)i j M名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑n (n 1)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑将 D 上，下翻转或左右翻转，所得行列式为D1 ，就 D1( 1) 2 D ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2n (n 1)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑将 D 顺时针或逆时针旋转 90o ，所得行列式为D2 ，就D2 ( 1) D ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3 ，就 D3 D ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.将 D 主副角线翻转后，所得行列式为5. 行列式的重要公式：①，主对角行列式：主对角元素的乘积；②，副对角行列式：副对角元素的乘积D4 ，就( 1)D4 D ；n( n 1)2 ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑③，上，下三角行列式（ ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积；n (n 1)名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑④， ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积( 1) 2 ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑⑤，拉普拉斯开放式： A O A C A BC B O B⑥，范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦，特点值；C A O A，B O B C( 1)m gn A B名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑6. 对于 n 阶行列式 A ，恒有： E Ankn( 1) Skk 1n k ，其中Sk 为 k 阶主子式；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑7. 证明 A 0 的方法：名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑①， A A ；②，反证法；③，构造齐次方程组④，利用秩，证明Ax r ( A)0 ，证明其有非零解； n ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑⑤，证明 0 是其特点值；1. A 是 n 阶可逆矩阵：2 ， 矩 阵名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑Ar (A)0 （是非奇妙矩阵）；n （是满秩矩阵）名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑A 的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax 0 有非零解；b Rn ， Ax b 总有唯独解；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑A 与 E 等价；A 可表示成如干个初等矩阵的乘积；A 的特点值全不为 0； AT A 是正定矩阵；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑A 的行（列）向量组是Rn 的一组基；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑2. 对于 n 阶矩阵 A ：AA *A* A A E 无条件恒 成立；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑1 *3. ( A )* 1( A )1 T( A )T 1( A )* T( A )T *( A )名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑( AB ) TBT AT( AB ) *B * A*( AB ) 1B 1 A 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A ， B 可逆：A1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑如 A A2，就：OAs名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑Ⅰ， A A1AA2 L1As ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑1A 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.Ⅱ， A 1 2 ；O1As1 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|资.|料.②， A O A OO B O B 1；（主对角分块）名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑11O A O B③， 1；（副对角分块）名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑B O A O名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑11④， A C AA 1 CB 1；（拉普拉斯）名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑O B O B 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑11⑤， A O AO ；（拉普拉斯）名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑C B B1CA 1 B 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑3 ， 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑1. 一个 m n 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯独确定的：Er OF ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑O O m n等价类：全部与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简洁的矩阵；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑对于同型矩阵 A ， B ，如2. 行最简形矩阵：r ( A)r (B )A : B ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑①，只能通过初等行变换获得；②，每行首个非 0 元素必需为 1；③，每行首个非 0 元素所在列的其他元素必需为 0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后接受初等行变换）r名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑①，如 ( A , E ) :(E , X ) ，就 A 可逆，且 X A ；1c名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑②，对矩阵 ( A, B ) 做初等行变化，当 A 变为 E 时， B 就变成A 1B ，即：(A, B ) ( E, A1B ) ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑r③，求解线形方程组：对于 n 个未知数 n 个方程 Ax b ，假如 ( A, b):4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：(E , x) ，就 A 可逆，且x A 1b ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑①，初等矩阵是行变换仍是列变换，由其位置准备：左乘为初等行矩阵，右乘为初等列矩阵；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑12②， ，左乘矩阵 A ，Oi 乘 A 的各行元素；右乘，i 乘 A 的各列元素；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑n11 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑③，对调两行或两列，符号E ( i , j ) ，且1E (i , j )E (i ,j ) ，例如：1 1 ；1 1名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑④，倍乘某行或某列，符号E ( i (k )) ，且E (i (k ))11 1E (i ( )) ，例如： kk1 11 (kk0) ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑1 111 k 1 k名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑⑤，倍加某行或某列，符号5. 矩阵秩的基本性质：E (ij ( k)),且 E ( ij (k )) 1E( ij (k ))，如：1 1 (k1 10) ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑①， 0 r ( Am n ) min(m ,n) ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.|编.②， r ( AT )③，如 A :r ( A) ；B ，就 r (A)r ( B) ；名师归纳总结——欢迎下载精品word学习资料可编辑|辑.|学.|习.|资.|料.④，如 P ， Q 可逆，就 r (A)⑤， max(r ( A), r ( B)) r (A, B )r (PA)r ( A)r (AQ ) r (PAQ) ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩 ）r ( B) ；（ ※ ）。