人教版 高中数学 选修22练习：第2章 推理与证明2.1.2.doc

2019学年人教版高中数学选修精品资料第二章 2.1 2.1.2A级　基础巩固一、选择题1．(2016·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的，其中大前提是(　A　)A．①　　　　　　　　 B．②C．①② D．③[解析]　根据三段论的定义，①为大前提，②为小前提，③为结论，故选A．2．(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于(　A　)A．演绎推理 B．类比推理C．合情推理 D．归纳推理[解析]　大前提为所有金属都能导电，小前提是金属，结论为铁能导电，故选A．3．(2017·崇仁县校级月考)有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理错在(　A　)A．大前提 B．小前提C．结论 D．以上都不是[解析]　∵大前提的形式：“是我的录像机，我就一定能把它打开”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选A．4．(2016·大同高二检测)函数y＝xcosx－sinx在下列哪个区间内是增函数(　B　)A．(，) B．(π，2π)C．(，) D．(2π，3π)[解析]　令y′＝x′cosx＋x(－sinx)－cosx＝－xsinx>0.由选项知x>0，sinx<0.∴π0，那么方程有两个相异实根．(大前提)Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，(小前提)所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．(结论)B级　素养提升一、选择题1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f ′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f ′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中(　A　)A．大前提错误 B．小前提错误C．结论正确 D．推理形式错误[解析]　∵对于可导函数f(x)，若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f ′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立．∴大前提错误，故选A．2．下面几种推理过程是演绎推理的是(　A　)A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式[解析]　选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．二、填空题3．“∵α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为__如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面__. 4．(2016·深圳高二检测)已知2sin2α＋sin2β＝3sinα，则sin2α＋sin2β的取值范围为　[0，]∪{2}　.[解析]　由2sin2α＋sin2β＝3sinα得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sinα＝－(sinα－)2＋且sinα≥0，sin2α∈[0,1]．因为0≤sin2β≤1，sin2β＝3sinα－2sin2α，所以0≤3sinα－2sin2α≤1.解之得sinα＝1或0≤sinα≤，令y＝sin2α＋sin2β，当sinα＝1时，y＝2.当0≤sinα≤时，0≤y≤.所以sin2α＋sin2β的取值范围是[0，]∪{2}．三、解答题5．判断下列推理是否正确？为什么？①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．[解析]　①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．6．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1. (1)求证：|c|≤1.(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2.[证明]　(1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，所以|c|≤1.(2)当a>0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，所以－2≤g(x)≤2.当a<0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，g(x)＝f(1)－c，所以－2≤g(x)≤2.综上所述，－2≤g(x)≤2.C级　能力拔高用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角三角形ABC中，AD，BE是高线，D、E为垂足，M为AB的中点.求证：ME＝MD．[证明]　∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提)在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，(小前提)∴△ABD为直角三角形．(结论)同理△ABE也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)M是直角三角形ABD斜边AB上的中点，DM为中线，(小前提)∴DM＝AB(结论)，同理EM＝AB．∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提)又∵DM＝AB，EM＝AB(小前提)∴ME＝MD(结论)．。