【数学】2009年高考真题江西卷（理）解析版.doc

1绝密★启用前20092009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分 第Ⅰ卷 考生注意： 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答若在试 题卷上作答，答案无效 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回 参考公式如果事件,A B互斥，那么 球的表面积公式()( )( )P ABP AP B24SR如果事件,A B，相互独立，那么 其中R表示球的半径 ()( )( )P A BP AP B球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 34 3VRn次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示 球的半径( )(1)kkn k nnP kC pp一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的1．若复数2(1)(1)zxxi为纯虚数，则实数x的值为A．1B．0 C．1 D．1或12．函数2ln(1)34xy xx 的定义域为A．( 4,1)B．( 4,1)C．( 1,1)D．( 1,1]3．已知全集U AB中有 m 个元素，()()UUABðð中有 n 个元素．若ABI非空，则ABI的元素个数为 A．mn B．mnC．nmD．mn24．若函数( )(13tan )cosf xxx，02x ，则( )f x的最大值为A．1 B．2 C．31D．325．设函数2( )( )f xg xx，曲线( )yg x在点(1, (1))g处的切线方程为21yx，则曲线( )yf x在点(1,(1))f处切线的斜率为A．4 B．1 4C．2 D．1 26．过椭圆22221xy ab (0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF ，则椭圆的离心率为A．2 2B．3 3C．1 2 D．1 3 7．(1)naxby展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则, ,a b n的值可能为A．2,1,5abn B．2,1,6abn  C．1,2,6abn D．1,2,5abn8．数列{}na的通项222(cossin)33nnnan ，其前n项和为nS，则30S为A．470 B．490 C．495 D．5109．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为 A．OABC是正三棱锥 B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45D．二面角DOBA为4510．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张 卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为yxzOABCD3A．31 81 B．33 81 C．48 81 D．50 81 11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径” ，封闭区域边界曲线 的长度与区域直径之比称为区域的“周率” ，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,   ，则下列关系中正确的为A．143B．312C．423D．34112．设函数2( )(0)f xaxbxc a的定义域为D，若所有点( ,( ))( ,)s f ts tD构成一个正方形区域，则a的值为A．2B．4C．8D．不能确定 绝密★启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 第Ⅱ卷 注意事项：第Ⅱ卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请把答案填在答题卡上13．已知向量(3,1)a  ，(1,3)b  ，( ,7)ck ，若()ac ∥b ，则k= ．14．正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球，若,A B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 ．15．若不等式29(2)2xk x的解集为区间, a b,且2ba,则k ．16．设直线系: cos(2)sin1(02 )M xy,对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数(3)n n ，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） ．4三.解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17． （本小题满分 12 分）设函数( )xef xx求函数( )f x的单调区间； 若0k ，求不等式'( )(1) ( )0fxkx f x的解集．18． （本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1 2.若某人获得两个“支持” ，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持” ，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持” ，则不予资助，令表示该公司的资助总额．(1) 写出的分布列； (2) 求数学期望E． 19． （本小题满分 12 分）△ABC中，,,A B C所对的边分别为, ,a b c，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,A C；（2）若33ABCS,求, a c. 20． （本小题满分 12 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，NODMCBPA54PAAD，2AB . 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（1）求证：平面ABM⊥平面PCD； （2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离.21． （本小题满分 12 分）已知点100(,)P xy为双曲线222218xy bb （b为正常数）上任一点,2F为双曲线的右焦点,过1P作右准线的垂线,垂足为A,连接2F A并延长交y轴于2P. 求线段1P2P的中点P的轨迹E的方程;设轨迹E与x轴交于BD、两点,在E上任取一点111,(0)Q x yy （）,直线QBQD，分别交y轴于MN，两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.22． （本小题满分 14 分）各项均为正数的数列{}na，12,aa ab，且对满足mnpq的正整数, , ,m n p q都有.(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaa aaaa2F1FOyxA2P1PP6（1）当14,25ab 时，求通项;na（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数，使得对于每个正整数n，都有 1.na绝密★启用前 秘密★启用后 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

题号123456789101112 答案ACDBABDＡBDCB1.由210110xxx   故选 A 2.由21011141340xxxxxx     .故选 C3.因为[()()]UUUABABððð，所以AB共有mn个元素,故选 D4.因为( )(13tan )cosf xxx=cos3sinxx=2cos()3x当3x 是，函数取得最大值为 2. 故选 B5. 由已知(1)2g，而( )( )2fxg xx，所以(1)(1)2 14fg  故选 A6. 因为2 (,)bPca ，再由1260FPF 有232 ,baa 从而可得3 3cea ，故选 B7. 5(1)2433nb，5(1)322na，则可取1,2,5abn，选 D8. 由于22{cossin}33nn 以 3 为周期,故222222 222 3012452829(3 )(6 )(30 )222S   7221010 211(32)(31)59 10 11[(3 ) ][9]25470222kkkkkk 故选 A9.将原图补为正方体不难得出 B 为错误，故选 B10． 5553(3 23)50 381P 故选 D11．前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以12 2、2、33，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以42 3，则4231，选 C12．12max||( )xxfx，22244 4bacacb aa ，|| 2aa，4a  ，选 B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。

13. 5 14.8 15.2 16.,B C13.．36513kk14.由条件可得2AOB ，所以2 2AB ，O到平面ABC的距离为2 3 3，所以所求体积等于8．15.由数形结合，直线(2)2yk x在半圆29yx之下必须3,1ba，则直线(2)2yk x过点（1,2 2） ，则2k 16因为cos(2)sin1xy所以点(0,2)P到M中每条直线的距离2211 cossind  即M为圆C:22(2)1xy的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线,所以A 错误又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以 B 正确 对任意3n ,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C8三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分17.解： (1) ' 22111( )xxxxfxeeexxx  , 由'( )0fx ,得 1x .因为 当0x 时,'( )0fx ； 当01x时,'( )0fx ； 当1x 时,'( )0fx ；所以( )f x的单调增区间是:[1,)； 单调减区间是: (,0) (0,1]，.由 2 ' 21( )(1) ( )xxkxkxfxkx f xex 2(1)(1)0xxkxex。