等腰三角形动点答案2.doc

等腰三角形动点答案 2 - 精锐教育学科老师讲义 授课 类型 授课日期时段 T(等腰三角形动点问题) 2023年5月3日 17:30—19:30 教学内容 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2023年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． 〔1〕求ED、EC的长； 〔2〕假设BP＝2，求CQ的长； 〔3〕记线段PQ与线段DE的交点为F，假设△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图 动感体验 请翻开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况． 请翻开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况． 思路点拨 1．第〔2〕题BP＝2分两种情况． 2．解第〔2〕题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第〔3〕题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ． 总分值解答 〔1〕在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以ED?CD?tan?C?5?25315，EC?． ?444〔2〕如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是 △ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以34PMDM4-．所以QN?PM，PM?QN． 43QNDN3 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时QN?33319PM?．所以CQ?CN?QN?4-． 4444②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5． 3151531PM?．所以CQ?CN?QN?4-． 4444QDDN3〔3〕如图5，如图2，在Rt△PDQ中，tan?QPD-?． PDDM4BA3在Rt△ABC中，tan?C-．所以∠QPD＝∠C． CA4此时QN?由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ． 当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形． ①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1〔如图3所示〕． 此时PM?4445QN?．所以BP?BM?PM?3-． 33335425CH，可得CQ-?． 258CQ②如图6，当QC＝QD时，由cosC?所以QN＝CN－CQ＝4?此时PM?257． ?〔如图2所示〕8847725． QN?．所以BP?BM?PM?3-3666③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ〔如图5，图6所示〕． 图5 图6 考点伸展 如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解BP?25． 6 例2 2023年扬州市中考第27题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． 〔1〕求抛物线的函数关系式； 〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； 〔3〕在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，假设存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请翻开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次时机落在AC的垂直平分线上；点A有2次时机落在MC的垂直平分线上；点C有2次时机落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线． 思路点拨 1．第〔2〕题是典型的“牛喝水”问题，点P段BC上时△PAC的周长最小． 2．第〔3〕题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 总分值解答 〔1〕因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． 〔2〕如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． BHPH由，BO＝CO，得PH＝BH＝2． ?BOCO所以点P的坐标为(1, 2)． 图2 〔3〕点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,?6)或(1,0)． 考点伸展 第〔3〕题的解题过程是这样的： 设点M的坐标为(1,m)． 在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2． ①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M的坐标为(1, 1)． ②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m-6． 此时点M的坐标为(1,6)或(1,?6)． ③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6． 当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)． 图3 图4 图5 例3 2023年临沂市中考第26题 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． 〔1〕求点B的坐标； 〔2〕求经过A、O、B的抛物线的解析式； 〔3〕在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请翻开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线． 请翻开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形 思路点拨 1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的间隔 公式列方程；然后解方程并检验． 2．此题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起． 总分值解答 〔1〕如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C． 在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC?23． 所以点B的坐标为(?2,?23)． 〔2〕因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B(?2,?23)，?23-2a?(?6)．解得a-3． 6 第 页 共 页。