基变换与坐标变换.ppt

§2 §2 线性空间的定义线性空间的定义 与简单性质 与简单性质 §3 §3 维数维数· ·基与坐标基与坐标§4 §4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换§1 §1 集合集合· ·映射映射§5 §5 线性子空间线性子空间§7 §7 子空间的直和子空间的直和§8 §8 线性空间的同构线性空间的同构§6 §6 子空间的交与和子空间的交与和第六章第六章 线性空间线性空间§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换一、基变换一、基变换§§6.4 6.4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换二、坐标变换二、坐标变换 § §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换引入引入 n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的．因此如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换1 1、、定义定义设V为数域P上n维线性空间， ； 为V中的两组基，若①即 ， 一、基变换一、基变换§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换则称矩阵 为由基 到基 的过渡矩阵（ transition matrix）； 称 ① 或 ② 为由基 到基 的基变换公式． ②§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换2 2、、有关性质有关性质 （1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证：若 为V的两组基,且由基 的过渡矩阵为A，即③§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换又由基 也有一个过渡矩阵,设为B，即④比较③ 、④两个等式，有都是线性无关的,即，A是可逆矩阵,且A－1＝ B.§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换反过来，设 为P上任一可逆矩阵，任取V的一组基于是有，由A可逆，有即， 也可由 线性表出.§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换故 线性无关，从而也为V的一组基.并且A就是 的过渡矩阵.（2）若由基 过渡矩阵为A,则由基 过渡矩阵为A-1.§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换（3）若由基 过渡矩阵为A,由基 过渡矩阵为B，则由基 过渡矩阵为AB.证：若则有，§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换二、坐标变换二、坐标变换 ⑤1 1、定义、定义为V中的两组基，且V为数域P上n维线性空间 ，§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换设 且ξ 在基 与基 下的坐标分别为 与 ， 即 ，与 § §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换则或 称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式． ⑥⑦ § §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换例1 在Pn中，求由基 到基 渡矩阵．其中 的过渡矩阵及由基 到基 的过并求向量 在基 下的坐标. § §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换解 ：∴ ∵§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换而§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换到基 由基的过渡矩阵为 故由基 到基 的过渡矩阵为§ §6. 6.4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换在基 下的坐标就是设 在基 下的坐标为 ，则所以 在基 下的坐标为 。