三维设计新课标高考总复习一轮复习数学文教师用书第七章立体几何.doc

第七章　立 体 几 何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1．多面体的结构特征(1)棱柱(2)棱锥(3)棱台　棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．[试一试]1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)解析：选B　给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B(而不是A)．图1图22．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为________ cm.解析：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为1∶16，设半径分别为r,4r.设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r.根据相似三角形的性质得＝，解得l＝9.所以，圆台的母线长为9 cm.答案：91．由三视图还原几何体的方法2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．4．转化与化归思想利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想．[练一练]1．如图是两个全等的正三角形，给定下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中真命题的个数是(　　)A．3　　　　　　　　　　　 B．2C．1 D．0解析：选A对于①，存在斜高与底边长相等的正四棱锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形．对于②，存在如图所示的三棱锥S ­ABC，底面为等腰三角形，其底边AB的中点为D，BC的中点为E，侧面SAB上的斜高为SD，且CB＝AB＝SD＝SE，顶点S在底面上的射影为AC的中点，则此三棱锥的正视图与侧视图是全等的正三角形．对于③，存在底面直径与母线长相等的圆锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形．所以选A.2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图．从图②可知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝OC＝，C′D′＝O′C′sin 45°＝×＝.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.答案：考点一空间几何体的结构特征1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)A．圆柱　　　　　　　　　 B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C　截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体选C.2．下列结论正确的是(　　)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D　A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．　　图1　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　3．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④ [类题通法]解决此类题目需准确理解定义，把握几何体的结构特征，并学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出反例否定即可．考点二几何体的三视图[典例]　(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(　　)A．棱柱　　　　　　　　　 B．棱台C．圆柱 D．圆台[解析]　选D　由俯视图可排除A，B，由正视图可排除C，选D.[类题通法]根据几何体画三视图，要严格按以下几点执行(1)三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左右两边，俯视图在正视图的下边．(2)注意实虚线的区别．[针对训练]1．(2014·山西模拟)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为(　　)A．4 B．2C．2 D.解析：选B　依题意得，该几何体的侧视图是边长分别为2和的矩形，因此其侧视图的面积为2，选B.2．(2014·吉林质检)已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．解析：直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.答案：①②③④ 考点三几何体的直观图[典例]如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．[解]　建立如图所示的坐标系xOy″，△A′B′C′的顶点C′在y″轴上，边A′B′在x轴上，把y″轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得＝，所以OC′＝a＝a，所以原三角形ABC的高OC＝a，所以S△ABC＝×a×a＝a2.本例若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”应如何求？解：由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边上的高为a××＝a∴S△A′B′C′＝×a×a＝a2.[类题通法]对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝S，能更快捷地进行相关问题的计算．[针对训练]等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．解析：∵OE＝ ＝1，∴O′E′＝，E′F＝，∴直观图A′B′C′D′的面积为S′＝×(1＋3)×＝.答案：[课堂练通考点]1．(2013·西城模拟)有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个(　　)A．棱台　　　　　　　　　 B．棱锥C．棱柱 D．都不对解析：选A　从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．2．(2013·长春调研)一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为(　　)A．正方形 B．圆C．等腰三角形 D．直角梯形解析：选D　当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A可能；当几何体是横放的一个圆柱时，B可能；当几何体是横放的三棱柱时，C可能；只有D不可能，故选D.3．长和宽分别相等的两个矩形如图所示．给定下列四个命题：①存在三棱柱，其正视图、侧视图如图；②存在四棱柱，其俯视图与其中一个视图完全一样；③存在圆柱，其正视图、侧视图如图；④若矩形的长与宽分别是2和1，则该几何体的最大体积为4.其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：对于①，将三棱柱正放时(三角形面为底面)能满足要求；②不正确，俯视图应该是正方形不是矩形；③正确，将圆柱正放(圆面为底面)满足要求；④正确，当该几何体是长方体时体积最大，最大体积为4.答案：①③④4．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC的中点，则BF＝1，在Rt△PBF中，BF＝1，PB＝，于是PF＝，同理PE＝，故其正视图的周长为2＋2.答案：2＋25．如图所示的是一个零件的直观图，试画出这个几何体的三视图．解：由三视图知该几何体为[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1. (2014·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为(　　)解析：选C　长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C.2．三视图如图所示的几何体是(　　)A．三棱锥 B．四棱锥C．四棱台 D．三棱台解析：选B　由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形． 3．(2013·郑州模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)解析：选C　注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C.4．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是(　　)A．0　　　　　　　　　　　 B．1C．2 D．3解析：选A　反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.5.用斜二测画法画出的某平。