理论力学9—刚体的平面运动.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,刚体的平面运动,第九章,此处有动画播放,在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为,平面运动此处有影片播放,此处有影片播放,9.1 刚体平面运动概述和运动分解,M,N,S,A,1,A,2,A,刚体上每一点都在与固定平面,M,平行的平面内运动若作一平面,N,与平面,M,平行,并以此去截割刚体得一平面图形,S,可知该平面图形,S,始终在平面,N,内运动因而垂直于图形,S,的任一条直线,A,1,A,2,必然作平动A,1,A,2,的运动可用其与图形,S,的交点,A,的运动来替代刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面,S,内的运动这就是平面图形的运动方程S,M,O,y,x,O,9.1 刚体平面运动概述和运动分解,j,平面图形,S,在其平面上的位置完全可由图形内任意线段,OM,的位置来确定，而要确定此线段的位置，只需确定线段上任一点,O,的位置和线段,OM,与固定坐标轴,Ox,间的夹角,j,即可点,O,的坐标和,j,角都是时间的函数，即,平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按点,O,的运动方程,x,O,=,f,1,(,t,),y,O,=,f,2,(,t,),的平移，没有转动；另一部分是绕,O,点转角为,j,=,f,3,(,t,),的转动。

9.1 刚体平面运动概述和运动分解,平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以轮心点,O,为原点取动参考系,Oxy,，则车厢的平动是牵连运动，车轮绕平动参考系原点,O,的转动是相对运动，二者的合成就是车轮的平面运动,(,绝对运动,),单独轮子作平面运动时，可在轮心,O,处固连一个平动参考系,Oxy,，同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动y,x,O,y,x,O,9.1 刚体平面运动概述和运动分解,对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点,O,，称为,基点,在这一点假想地安上一个平移参考系,Oxy,；平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴,Ox,和,Oy,于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和张基点转动这两部分运动的合成y,x,O,y,x,O,O,M,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称,基点法,1.,基点法,已知,O,点的速度及平面图形转动的角速度，求,M,点的速度9.2 求平面图形内各点速度的基点法,w,v,M,v,O,v,MO,v,O,例,1,椭圆规机构如图。

已知连杆,AB,的长度,l,=20 cm,，滑块,A,的速度,v,A,=10 cm/s,，求连杆与水平方向夹角为,30,时，滑块,B,和连杆中点,M,的速度解,:,AB,作平面运动，以,A,为基点，分析,B,点的速度由图中几何关系得：,方向如图所示A,v,A,v,A,v,B,v,BA,B,w,AB,30,M,30,以,A,为基点，则,M,点的速度为,将各矢量投影到坐标轴上得：,解之得,A,v,A,v,A,v,MA,B,w,AB,30,M,v,M,x,y,a,例,2,行星轮系机构如图大齿轮,I,固定，半径为,r,1,；行星齿轮,II,沿轮,I,只滚而不滑动，半径为,r,2,系杆,OA,角速度为,w,O,求轮,II,的角速度,w,II,及其上,B,，,C,两点的速度解,:,行星齿轮,II,作平面运动，求得,A,点的速度为,v,A,w,O,O,D,A,C,B,v,A,v,DA,w,II,I,II,以,A,为基点，分析两轮接触点,D,的速度由于齿轮,I,固定不动，接触点,D,不滑动，显然,v,D,0,，因而有,v,DA,v,A,w,O,(,r,1,+,r,2,),，方向与,v,A,相反，,v,DA,为点,D,相对基点,A,的速度，应有,v,DA,w,II,DA,。

所以,v,A,w,O,O,D,A,C,B,v,A,v,CA,v,C,v,B,v,BA,v,A,w,II,I,II,以,A,为基点，分析点,B,的速度v,BA,与,v,A,垂直且相等，点,B,的速度,以,A,为基点，分析点,C,的速度v,CA,与,v,A,方向一致且相等，点,C,的速度,同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等这就是,速度投影定理2.,速度投影定理,由于,v,BA,垂直于,AB,，因此,v,BA,AB,=0,于是,将等式两边同时向,AB,方向投影,:,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,A,B,w,v,B,v,A,v,BA,v,A,例,3,用速度投影定理解例,1,解：由速度投影定理得,解得,A,v,A,v,B,B,30,定理：,一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,w,S,设有一个平面图形,S,角速度为,w,，图形上点,A,的速度为,v,A,，如图在,v,A,的垂线上取一点,C,(,由,v,A,到,AC,的转向与图形的转向一致,),，有,如果取,AC,v,A,/,w,，则,N,C,v,A,v,CA,该点称为,瞬时速度中心，,或简称为,速度瞬心。

v,A,A,图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,C,A,w,v,A,v,B,B,D,v,D,w,C,确定速度瞬心位置的方法有下列几种：,(1),平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点,C,就是图形的速度瞬心如车轮在地面上作无滑动的滚动时9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,v,C,(2),已知图形内任意两点,A,和,B,的速度的方向，速度瞬心,C,的位置必在每点速度的垂线的交线上9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,w,AB,w,O,C,v,A,A,B,v,B,(3),已知图形上两点,A,和,B,的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线,AB,，则速度瞬心必定在连线,AB,与速度矢,v,A,和,v,B,端点连线的交点,C,上9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,A,B,v,B,v,A,C,A,B,v,B,v,A,C,(4),某瞬时，图形上,A,、,B,两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无限远处瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等,),9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,w,O,v,A,A,B,v,B,另外注意：,瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。

确定瞬心的一般方法：,例,4,用速度瞬心法解例,1,解：,AB,作平面运动,A,v,A,v,B,B,30,C,v,M,w,M,瞬心在,C,点,例,5,已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为,v,，半径为,r,求轮子上,A,1,、,A,2,、,A,3,和,A,4,点的速度A,3,w,A,2,A,4,A,1,v,A,2,v,A,3,v,A,4,v,O,解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即,A,1,各点的速度方向分别为各点与,A,点连线的垂线方向，转向与,w,相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零O,45,90,90,O,1,O,B,A,D,例,6,已知四连杆机构中,O,1,B,l,，,AB,3,l,/2,，,AD,DB,，,OA,以,w,绕,O,轴转动求：,(1),AB,杆的角速度；,(,2,),B,和,D,点的速度w,解：,AB,作平面运动，,OA,和,O,1,B,都作定轴转动，,C,点是,AB,杆作平面运动的速度瞬心v,A,v,B,v,D,C,w,AB,例,7,直杆,AB,与圆柱,O,相切于,D,点，杆的,A,端以 匀速向前滑动，圆柱半径 ，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求 时圆柱的角速度。

解一：,圆柱作平面运动,，,其瞬心在,点,，,设其角速度为,AB,圆柱作平面运动，其瞬心在,点，则,即,亦即,故,例8,图示机构，已知曲柄,OA,的角速度为,w,，,OA,AB,BO,1,O,1,C,r,，角,a,=,b,=60,，求滑块,C,的速度解：,AB,和,BC,作平面运动，其瞬心分别为,C,1,和,C,2,点，则,w,a,b,O,A,B,O,1,C,C,1,C,2,w,BC,w,AB,v,A,v,B,v,C,解：连杆,AB,作平面运动，瞬心在,C,1,点，则,例9,曲柄肘杆式压床如图已知曲柄,OA,长,r,以匀角速度,w,转动，,AB,=,BC,=,BD,=,l,，当曲柄与水平线成,30,角时，连杆,AB,处于水平位置，而肘杆,DB,与铅垂线也成,30,角试求图示位置时，杆,AB,、,BC,的角速度以及冲头,C,的速度A,O,B,D,C,30,30,v,A,v,B,v,C,w,C,1,w,AB,C,2,w,BC,连杆,BC,作平面运动，瞬心在,C,2,点，则,例,1,0,曲柄连杆机构中，在连杆,AB,上固连一块三角板,ABD,，如图所示机构由曲柄,O,1,A,带动已知曲柄的角速度为,w,2,rad/s,，曲柄,O,1,A,=0.1m,，水平距离,O,1,O,2,=0.05m,，,AD,=0.05m,，当,O,1,A,O,1,O,2,时，,AB,O,1,O,2,，且,AD,与,AO,1,在同一直线上，,j,=30,。

试求三角板,ABD,的角速度和点,D,的速度解、运动分析：,O,1,A,和,O,2,B,作定轴转动；,ABD,作平面运动，其速度瞬心在点,C,O,1,O,2,A,B,D,j,C,w,2,w,ABD,w,v,A,v,D,v,B,例,1,1,图示蒸汽机传动机构中，已知：活塞的速度为,v,，,O,1,A,1,=,a,1,O,2,A,2,=,a,2,CB,1,=,b,1,CB,2,=,b,2,;,齿轮半径分别为,r,1,和,r,2,；且有,a,1,b,2,r,2,a,2,b,1,r,1,当杆,EC,水平，杆,B,1,B,2,铅直，,A,1,，,A,2,和,O,1,，,O,2,都在一条铅直线上时，求齿轮,O,1,的角速度v,A,1,v,A,2,w,1,w,2,解：设齿轮,O,1,转动方向为逆时针，则齿轮,O,2,的转动方向为顺时针因,A,1,，,A,2,和,O,1,，,O,2,在一条铅直线上，所以,A,1,，,A,2,点的速度均为水平方向，如图所示,因,B,1,B,2,作平面运动，,v,C,B,1,B,2,，由速度投影定理知,v,B,1,，,v,B,1,也应垂直于,B,1,B,2,而沿水平方向A,1,B,1,作平面运动，,v,A,1,和,v,B,1,都沿水平方向，所以,A,1,B,1,作瞬时平动，同理,A,2,B,2,也作瞬时平动，所以,v,B,1,v,B,2,v,C,v,A,1,v,B,1,v,B,2,v,A,2,v,C,w,1,w,2,B,1,B,2,杆的速度分布如图所示，速度瞬心在,O,点。

设,OC,长度为,x,，则,O,w,因齿轮,O,1,，,O,2,相互啮合，,w,1,r,1,w,2,r,2,，所以,当,a,1,b,2,r,2,a,2,b,1,r,1,时，齿轮,O,1,的角速度为逆时针方向例,1,2,图示放大机构中，杆,I,和,II,分别以速度,v,1,和,v,2,沿箭头方向运动，其位移分别以,x,和,y,表示如杆,II,与杆,III,平行，其间距离为,a,，求杆,III,的速度和滑道,的角速度I,II,III,IV,B,C,y,v,1,a,x,A,v,2,解：,I,、,II,、,III,杆作平动，,IV,杆作平面运动滑块,B,和滑块,C,与滑道之间有相对运动，如果取滑道,IV,作为动参考体分析滑块,B,和滑块,C,的运动，则牵连运动均为平面运动A,B,IV,v,B,(,v,。