数学分析课件傅里叶级数.ppt

§1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回返回一、三角级数·正交函数系三、收敛定理二、以 为周期的函数的傅里叶级数一、三角级数·正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数 来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐 振动y 的周期是 较为复杂的周期运动, 则 常常是几个简谐振动 由于简谐振动 的周期为所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 的叠加： 若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运 动现象. 对于级数(3), 只须讨论 (如果可 用代换x )的情形. 由于 所以它是由三角函数列(也称为三角函数系)所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:则级数( )可写成 定理 15.1 若级数收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即而(5)中任何一个函数的平方在 上的积分都不等于零, 即 若两个函数与在上可积, 且 则称与在上是正交的, 或在上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系. 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数之间的关系.定理15.2 若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 证 由定理条件, 函数 f 在上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以 即又以乘(9)式两边 (k为正整数), 得从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可 得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积, 有 由三角函数的正交性, 右边除了以为系数的那一 项积分 外,其他各项积分都等于0,于是得出: 即同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得 由此可知, 若f 是以 为周期且在 上可积的 函数, 则可按公式(10)计算出 和, 它们称为函数 f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里 叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数 系) 的傅里叶级数, 记作 这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级 数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整 个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是 f 的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“~”可换为 函数 f 出发, 按公式(10)求出其傅里叶系数并得到 傅里叶级数(12) , 这时还需讨论此级数是否收敛.如果收敛, 是否收敛于 f 本身. 这就是下一段所要 叙述的内容. 等号. 然而, 若从以 为周期且在上可积的 函数 f 在 上按段光滑, 则在每一点f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的 算术平均值, 即 其中为f 的傅里叶系数. 定理的证明将在§3中进行. 定理15.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 为周期的 三、收敛定理注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对 函数的要求却比幂级数要低得多, 所以应用更广. 而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉. 概念解释1. 若f 的导函数在 上连续, 则称f在[a, b]上光滑. 2. 如果定义在 上函数f 至多有有限个第一类间 断点,其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 在且连续, 并且在这有限个点上导函数 的左、右 极限存在, 则称 f 在 上按段光滑. 在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 上可积.(ii) 在 上每一点都存在 , 如果在不连续 点补充定义 , 或 , 则 还有 (iii) 在补充定义在上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后 ( 仍记为 ), 在[a, b]上可积. 从几何图形上讲, 在 区间[a, b]上按段光滑 光滑函数,是由有限个 多有有限个第一类间 断点 (图15-1). 光滑弧段所组成,它至 收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在该点的左、右极限的算术平均值而当 f 在点 x 连续时,则有即此时f的傅里叶级数收敛于 . 这样便有 上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在 上收敛 于 f . 推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在 所以系数公式(10)中的积分区间 可以改为长 其中 c 为任何实数.注2 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时, 经常 只给出函数在 (或 )上的解析式, 但读 注1 根据收敛定理的假设,f 是以 为周期的函数, 度为 的任何区间, 而不影响 , 的值: 者应理解为它是定义在整个数轴上以 为周期的函 数, 即在 以外的部分按函数在 上的对 应关系做周期延拓. 也就是说函数本身不一定是定 义在整个数轴上的周期函数, 但我们认为它是周期 函数. 如 f 为 上的解析表达式, 那么周期延拓 后的函数为 如图15-2所示. 因此当笼统地说函数的傅里叶级数 时就是指函数 的傅里叶级数. 例 1 设 求 f 傅里叶级数展 开式.解 函数 f 及其周期延拓后的图像如图15-3 所示, 显然 f 是按段光滑的. 故由傅里叶级数收敛定理, 它可以展开成傅里叶级 数. 由于 当n≥1时, 所以在开区间 上在时, 上式右边收敛于 于是, 在 上 f 的傅里叶级数的图象如图15-4 所示( 注意它与图15-3 的差别 ).例2 将下列函数展开成傅里叶级数: 解 f 及其周期延拓的 图形如图15-5 所示. 显然 f 是按段光滑的, 因此可以展开成傅里 叶级数. 在( )中令 , 在 上计算傅里叶系数如下: 所以当 时, 当时, 由于所以因此当或 时, 由于由(14)或(15)都可推得注 上式提供了一个计算 的方法. 还可以找出其他 展开式来计算 , 关键是收敛速度要快. 例3 在电子技术中经常用到矩形波(如图15-6所示), 反映的是一种复杂的周期运动, 用傅里叶级数展开 后, 就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的 简谐振动的叠加, 在电工学中称为谐波分析. 设是周期为的矩形波函数( 图15-6 ), 在上的表达式为求该矩形波函数的傅里叶展开式.解 由于是奇函数, 积分区间是对称区间 , 所以 于是当时, 当时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ). 复习思考题 设函数 f 在上可积, 并且, 这样 的函数能否求出其傅里叶级数? 。